Страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Как выражается сторона правильного многоугольника через радиус:

а) описанной около него окружности;

б) вписанной в него окружности?

2. Докажите, что правильные $n$-угольники подобны.

3. Выведите формулы площади правильного $n$-угольника через:

а) его сторону и радиус вписанной в него окружности;

б) радиус описанной около него окружности и его центральный угол.

1. Как выражается сторона правильного многоугольника через радиус:

Дано: Правильный $n$-угольник.

Найти: Сторону $a_n$ правильного $n$-угольника.

а) описанной около него окружности;

Дано: $R$ - радиус описанной окружности.

Решение: Рассмотрим правильный $n$-угольник. Его вершинами являются точки, лежащие на описанной окружности радиуса $R$. Соединим центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника. Получим равнобедренный треугольник, две стороны которого равны $R$, а третья сторона - это сторона $a_n$ многоугольника. Угол при центре окружности, опирающийся на одну сторону многоугольника (центральный угол), равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан (или $\frac{360^\circ}{n}$ градусов). Опустим высоту из центра на сторону $a_n$. Эта высота является радиусом вписанной окружности $r$ и делит центральный угол пополам, а также сторону $a_n$ пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $R$, катет равен $\frac{a_n}{2}$, а угол напротив этого катета равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{n}$. Тогда, используя определение синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_n/2}{R}$. Отсюда выражаем $a_n$: $a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Ответ: $a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

б) вписанной в него окружности?

Дано: $r$ - радиус вписанной окружности (апофема).

Решение: Используем тот же прямоугольный треугольник, что и в предыдущем пункте. Катет, прилежащий к углу $\frac{\pi}{n}$, равен $r$ (радиусу вписанной окружности). Катет, противолежащий углу $\frac{\pi}{n}$, равен $\frac{a_n}{2}$. Используя определение тангенса: $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_n/2}{r}$. Отсюда выражаем $a_n$: $a_n = 2r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Ответ: $a_n = 2r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

2. Докажите, что правильные $n$-угольники подобны.

Дано: Два произвольных правильных $n$-угольника.

Найти: Доказать их подобие.

Решение: Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. 1. Равенство углов: Все внутренние углы правильного $n$-угольника равны между собой. Формула для каждого внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2)\pi}{n}$ радиан (или $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$ градусов). Эта формула зависит только от числа сторон $n$. Следовательно, любые два правильных $n$-угольника будут иметь одинаковые внутренние углы. Таким образом, соответствующие углы у них равны. 2. Пропорциональность сторон: Пусть у нас есть два правильных $n$-угольника со сторонами $a_1$ и $a_2$ соответственно. Для первого $n$-угольника: $a_1 = 2R_1 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$, где $R_1$ - радиус описанной окружности. Для второго $n$-угольника: $a_2 = 2R_2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$, где $R_2$ - радиус описанной окружности. Найдем отношение их сторон: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2R_1 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2R_2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{R_1}{R_2}$. Поскольку все стороны правильного многоугольника равны, отношение любых соответствующих сторон будет равно $\frac{a_1}{a_2}$. Это отношение является постоянным для данных двух многоугольников. Таким образом, все соответствующие стороны пропорциональны. Поскольку у правильных $n$-угольников соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, они подобны.

Ответ: Доказано.

3. Выведите формулы площади правильного $n$-угольника через:

Дано: Правильный $n$-угольник. $S_n$ - площадь; $a_n$ - сторона; $r$ - радиус вписанной окружности (апофема); $R$ - радиус описанной окружности; $\alpha_c$ - центральный угол.

Найти: Формулы для площади $S_n$.

а) его сторону и радиус вписанной в него окружности;

Решение: Правильный $n$-угольник можно разбить на $n$ равных равнобедренных треугольников, соединив его центр со всеми вершинами. Основанием каждого такого треугольника является сторона многоугольника $a_n$. Высота каждого такого треугольника, проведенная из центра многоугольника к его стороне, равна радиусу вписанной окружности $r$ (апофеме). Площадь одного такого треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} a_n r$. Поскольку многоугольник состоит из $n$ таких треугольников, его общая площадь $S_n$ равна $n$ умножить на площадь одного треугольника: $S_n = n \cdot \left(\frac{1}{2} a_n r\right) = \frac{1}{2} n a_n r$. Заметим, что $n a_n$ - это периметр $P$ правильного $n$-угольника. Таким образом, формулу можно также записать как $S_n = \frac{1}{2} P r$.

Ответ: $S_n = \frac{1}{2} n a_n r$

б) радиус описанной около него окружности и его центральный угол.

Решение: Как и в предыдущем пункте, разобьем правильный $n$-угольник на $n$ равных равнобедренных треугольников, соединив центр со всеми вершинами. В этом случае две стороны каждого треугольника являются радиусами описанной окружности $R$, а угол между ними - это центральный угол $\alpha_c$, который равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан (или $\frac{360^\circ}{n}$ градусов). Площадь треугольника, образованного двумя сторонами $R$ и углом $\alpha_c$ между ними, вычисляется по формуле: $S_{треуг} = \frac{1}{2} R \cdot R \sin(\alpha_c) = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_c)$. Поскольку многоугольник состоит из $n$ таких треугольников, его общая площадь $S_n$ равна $n$ умножить на площадь одного треугольника: $S_n = n \cdot \left(\frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_c)\right) = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_c)$. Подставляя $\alpha_c = \frac{2\pi}{n}$, получаем: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Ответ: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_c)$ или $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

343. a)
Радиусы окружностей, описанной около правильного $n$-угольника и вписанной в него, равны соответственно $R$ и $r$.
Найдите сторону этого многоугольника.

б) Около правильного $n$-угольника описана окружность и в него вписана окружность. Докажите, что разность квадратов диаметров этих окружностей равна квадрату стороны данного $n$-угольника.

a)

Дано:

$R$ – радиус описанной окружности;

$r$ – радиус вписанной окружности;

$n$ – количество сторон правильного многоугольника.

Найти:

$a_n$ – сторона $n$-угольника.

Решение:

Для правильного $n$-угольника сторона $a_n$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Радиус вписанной окружности $r$ также связан с радиусом описанной окружности $R$:

$r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Из второй формулы выразим косинус угла:

$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{r}{R}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Для угла $x = \frac{\pi}{n}$ имеем:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1$

Выразим $\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Подставим выражение для $\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2 = 1 - \frac{r^2}{R^2} = \frac{R^2 - r^2}{R^2}$

Извлечем квадратный корень. Поскольку $n \ge 3$, угол $\frac{\pi}{n}$ находится в диапазоне $(0, \pi/2]$, и $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ всегда положителен:

$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sqrt{\frac{R^2 - r^2}{R^2}} = \frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R}$

Теперь подставим это выражение для $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ в формулу для стороны $a_n$:

$a_n = 2R \cdot \frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R}$

Сократим $R$:

$a_n = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Ответ: $a_n = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

б)

Дано:

$R$ – радиус описанной окружности;

$r$ – радиус вписанной окружности;

$a_n$ – сторона правильного $n$-угольника.

Доказать:

$(2R)^2 - (2r)^2 = a_n^2$

Решение:

Рассмотрим правильный $n$-угольник. Его центр совпадает с центром описанной и вписанной окружностей.

Соединим центр многоугольника с одной из его вершин. Длина этого отрезка равна радиусу описанной окружности $R$.

Из центра многоугольника опустим перпендикуляр на одну из его сторон. Длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанной окружности $r$. Этот перпендикуляр делит сторону на две равные части.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, образованный:

1. Гипотенузой, равной радиусу описанной окружности $R$.

2. Одним катетом, равным радиусу вписанной окружности $r$.

3. Вторым катетом, равным половине стороны многоугольника $\frac{a_n}{2}$.

Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{a_n}{2}\right)^2$

Возведем в квадрат правую часть:

$R^2 = r^2 + \frac{a_n^2}{4}$

Вычтем $r^2$ из обеих частей уравнения:

$R^2 - r^2 = \frac{a_n^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4(R^2 - r^2) = a_n^2$

Разложим левую часть:

$4R^2 - 4r^2 = a_n^2$

Поскольку $4R^2 = (2R)^2$ и $4r^2 = (2r)^2$, мы можем переписать уравнение как:

$(2R)^2 - (2r)^2 = a_n^2$

Диаметр описанной окружности $D_R = 2R$, а диаметр вписанной окружности $D_r = 2r$. Следовательно, доказанное соотношение можно записать как $D_R^2 - D_r^2 = a_n^2$.

Таким образом, разность квадратов диаметров этих окружностей равна квадрату стороны данного $n$-угольника.

Ответ: Доказано.

344. а) Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 7 см. Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

б) В окружность вписаны квадрат и правильный шестиугольник. Периметр квадрата равен 42 мм. Найдите периметр шестиугольника.

a)

Дано:

сторона правильного шестиугольника $a_6 = 7$ см.

шестиугольник и правильный треугольник вписаны в одну окружность.

Перевод в СИ:

$a_6 = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$.

Найти:

периметр правильного треугольника $P_3$.

Решение:

для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

тогда радиус окружности $R = a_6 = 7$ см.

для правильного треугольника, вписанного в окружность, длина его стороны $a_3$ выражается формулой через радиус $R$:

$a_3 = R\sqrt{3}$

подставим значение $R$:

$a_3 = 7\sqrt{3}$ см.

периметр правильного треугольника равен утроенной длине его стороны:

$P_3 = 3 \cdot a_3$

$P_3 = 3 \cdot (7\sqrt{3}) = 21\sqrt{3}$ см.

Ответ: $21\sqrt{3}$ см.

б)

Дано:

квадрат и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность;

периметр квадрата $P_4 = 42$ мм.

Перевод в СИ:

$P_4 = 42 \text{ мм} = 0.042 \text{ м}$.

Найти:

периметр правильного шестиугольника $P_6$.

Решение:

найдем сторону квадрата $a_4$ из его периметра:

$a_4 = P_4 / 4$

$a_4 = 42 / 4 = 10.5$ мм.

для квадрата, вписанного в окружность, его диагональ равна диаметру окружности $2R$.

диагональ квадрата $d = a_4\sqrt{2}$.

значит, $2R = a_4\sqrt{2}$

отсюда радиус окружности:

$R = a_4\sqrt{2} / 2$

$R = 10.5\sqrt{2} / 2 = 5.25\sqrt{2}$ мм.

для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона $a_6$ равна радиусу описанной окружности.

$a_6 = R = 5.25\sqrt{2}$ мм.

периметр правильного шестиугольника равен шести длинам его стороны:

$P_6 = 6 \cdot a_6$

$P_6 = 6 \cdot (5.25\sqrt{2}) = 31.5\sqrt{2}$ мм.

Ответ: $31.5\sqrt{2}$ мм.