Номер 343, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

343. a)
Радиусы окружностей, описанной около правильного $n$-угольника и вписанной в него, равны соответственно $R$ и $r$.
Найдите сторону этого многоугольника.

б) Около правильного $n$-угольника описана окружность и в него вписана окружность. Докажите, что разность квадратов диаметров этих окружностей равна квадрату стороны данного $n$-угольника.

a)

Дано:

$R$ – радиус описанной окружности;

$r$ – радиус вписанной окружности;

$n$ – количество сторон правильного многоугольника.

Найти:

$a_n$ – сторона $n$-угольника.

Решение:

Для правильного $n$-угольника сторона $a_n$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Радиус вписанной окружности $r$ также связан с радиусом описанной окружности $R$:

$r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Из второй формулы выразим косинус угла:

$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{r}{R}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Для угла $x = \frac{\pi}{n}$ имеем:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1$

Выразим $\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Подставим выражение для $\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2 = 1 - \frac{r^2}{R^2} = \frac{R^2 - r^2}{R^2}$

Извлечем квадратный корень. Поскольку $n \ge 3$, угол $\frac{\pi}{n}$ находится в диапазоне $(0, \pi/2]$, и $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ всегда положителен:

$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sqrt{\frac{R^2 - r^2}{R^2}} = \frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R}$

Теперь подставим это выражение для $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ в формулу для стороны $a_n$:

$a_n = 2R \cdot \frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R}$

Сократим $R$:

$a_n = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Ответ: $a_n = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

б)

Дано:

$R$ – радиус описанной окружности;

$r$ – радиус вписанной окружности;

$a_n$ – сторона правильного $n$-угольника.

Доказать:

$(2R)^2 - (2r)^2 = a_n^2$

Решение:

Рассмотрим правильный $n$-угольник. Его центр совпадает с центром описанной и вписанной окружностей.

Соединим центр многоугольника с одной из его вершин. Длина этого отрезка равна радиусу описанной окружности $R$.

Из центра многоугольника опустим перпендикуляр на одну из его сторон. Длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанной окружности $r$. Этот перпендикуляр делит сторону на две равные части.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, образованный:

1. Гипотенузой, равной радиусу описанной окружности $R$.

2. Одним катетом, равным радиусу вписанной окружности $r$.

3. Вторым катетом, равным половине стороны многоугольника $\frac{a_n}{2}$.

Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{a_n}{2}\right)^2$

Возведем в квадрат правую часть:

$R^2 = r^2 + \frac{a_n^2}{4}$

Вычтем $r^2$ из обеих частей уравнения:

$R^2 - r^2 = \frac{a_n^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4(R^2 - r^2) = a_n^2$

Разложим левую часть:

$4R^2 - 4r^2 = a_n^2$

Поскольку $4R^2 = (2R)^2$ и $4r^2 = (2r)^2$, мы можем переписать уравнение как:

$(2R)^2 - (2r)^2 = a_n^2$

Диаметр описанной окружности $D_R = 2R$, а диаметр вписанной окружности $D_r = 2r$. Следовательно, доказанное соотношение можно записать как $D_R^2 - D_r^2 = a_n^2$.

Таким образом, разность квадратов диаметров этих окружностей равна квадрату стороны данного $n$-угольника.

Ответ: Доказано.