Номер 339, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень В

339. Докажите, что середины сторон правильного многоугольника являются вершинами другого правильного многоугольника.

Дано: правильный n-угольник.

Найти: доказать, что середины его сторон являются вершинами другого правильного многоугольника.

Решение

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника являются вершинами другого правильного многоугольника.

Пусть дан правильный $n$-угольник $P_1$ с вершинами $V_1, V_2, ..., V_n$ и сторонами $S_1, S_2, ..., S_n$, где $S_i = V_iV_{i+1}$ (считая $V_{n+1}=V_1$). У любого правильного многоугольника существует единственный центр $O$, который равноудален от всех его вершин (центр описанной окружности) и равноудален от всех его сторон (центр вписанной окружности). Расстояние от центра $O$ до каждой стороны называется апофемой. Пусть апофема правильного многоугольника $P_1$ равна $r$. Середины сторон правильного многоугольника являются точками касания вписанной окружности, и, следовательно, лежат на этой окружности. Отрезки, соединяющие центр $O$ с серединами сторон, перпендикулярны этим сторонам и имеют длину, равную апофеме $r$. Пусть $M_1, M_2, ..., M_n$ — середины сторон $S_1, S_2, ..., S_n$ соответственно. Эти $n$ точек являются вершинами нового многоугольника $P_2$. Стороны многоугольника $P_2$ — это отрезки, соединяющие соседние середины сторон, например, $M_iM_{i+1}$.

Для доказательства того, что $P_2$ является правильным многоугольником, необходимо показать, что все его стороны равны по длине и все его внутренние углы равны по величине.

Равенство сторон нового многоугольника:

Рассмотрим треугольники $\triangle OM_iM_{i+1}$ для $i = 1, ..., n$. Каждая из сторон $OM_i$ и $OM_{i+1}$ этих треугольников является апофемой исходного правильного многоугольника $P_1$, поэтому $OM_i = OM_{i+1} = r$. Угол между двумя соседними апофемами, проведенными к серединам соседних сторон правильного многоугольника, равен центральному углу, который в данном случае составляет $\frac{2\pi}{n}$ радиан (или $360^\circ/n$). То есть, $\angle M_iOM_{i+1} = \frac{2\pi}{n}$ для всех $i$. Поскольку все треугольники $\triangle OM_iM_{i+1}$ являются равнобедренными (с двумя сторонами, равными $r$) и имеют одинаковый угол между этими сторонами ($\frac{2\pi}{n}$), то по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС) все эти треугольники конгруэнтны. Из конгруэнтности треугольников следует равенство всех их третьих сторон, которые являются сторонами многоугольника $P_2$. Следовательно, $M_1M_2 = M_2M_3 = ... = M_nM_1$. Таким образом, многоугольник $P_2$ является равносторонним.

Равенство углов нового многоугольника:

Исходный правильный $n$-угольник $P_1$ обладает вращательной симметрией относительно своего центра $O$ с углом поворота $\frac{2\pi}{n}$. Это означает, что поворот $P_1$ вокруг $O$ на угол $\frac{2\pi}{n}$ отображает $P_1$ на самого себя. При таком повороте каждая сторона $S_i$ многоугольника $P_1$ отображается на соседнюю сторону $S_{i+1}$. Поскольку $M_i$ является серединой стороны $S_i$, а $M_{i+1}$ — серединой стороны $S_{i+1}$, то при повороте на $\frac{2\pi}{n}$ точка $M_i$ отображается в точку $M_{i+1}$. Это означает, что множество вершин $\{M_1, M_2, ..., M_n\}$ нового многоугольника $P_2$ также отображается на себя при повороте вокруг центра $O$ на угол $\frac{2\pi}{n}$. Многоугольник, у которого все стороны равны (что было доказано выше) и который обладает вращательной симметрией относительно своего центра с углом $\frac{2\pi}{n}$ (при $n$ вершинах), является правильным. Эта симметрия гарантирует равенство всех внутренних углов многоугольника $P_2$. Например, угол при вершине $M_i$ будет отображен на угол при вершине $M_{i+1}$, что означает их равенство.

Таким образом, многоугольник $P_2$, образованный серединами сторон исходного правильного $n$-угольника, является равносторонним и равноугольным, что по определению означает, что он является правильным многоугольником.

Ответ: Доказано.