Номер 333, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

333. Трапеция разделена на три трапеции отрезками, параллельными ее основаниям, так, что в каждую из них можно вписать окружность. Больший и меньший радиусы этих окружностей равны соответственно 8 см и 2 см. Найдите радиус третьей окружности.

Дано:

Радиус наименьшей окружности: $r_{min} = 2 \text{ см}$

Радиус наибольшей окружности: $r_{max} = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$r_{min} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$r_{max} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус третьей окружности: $r_{средний}$

Решение:

Из условия задачи известно, что трапеция разделена на три трапеции отрезками, параллельными ее основаниям, и в каждую из этих трех трапеций можно вписать окружность. Существует известная геометрическая теорема, которая гласит, что если трапеция разделена на несколько меньших трапеций отрезками, параллельными ее основаниям, и в каждую из этих меньших трапеций можно вписать окружность, то радиусы вписанных окружностей образуют геометрическую прогрессию.

Пусть радиусы трех окружностей, расположенных последовательно, равны $R_1, R_2, R_3$. Тогда они образуют геометрическую прогрессию, что означает $R_2^2 = R_1 \cdot R_3$.

В условии задачи даны наибольший и наименьший радиусы из этих трех. Это означает, что данные радиусы являются крайними членами этой геометрической прогрессии. Пусть $R_1$ будет наименьшим радиусом, а $R_3$ — наибольшим.

Тогда $R_1 = r_{min} = 2 \text{ см}$ и $R_3 = r_{max} = 8 \text{ см}$.

Необходимо найти радиус третьей окружности, который в данном случае будет средним членом этой прогрессии, $R_2$.

Используем свойство геометрической прогрессии:

$R_2 = \sqrt{R_1 \cdot R_3}$

Подставим значения радиусов:

$R_2 = \sqrt{2 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}}$

$R_2 = \sqrt{16 \text{ см}^2}$

$R_2 = 4 \text{ см}$

Таким образом, три радиуса равны $2 \text{ см}$, $4 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Эта последовательность ($2, 4, 8$) является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Наименьший радиус в ней равен 2 см, а наибольший — 8 см, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ:

Радиус третьей окружности составляет $4 \text{ см}$.