Номер 326, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

основания...

326. а) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями 5 см и 7,5 см.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 3 дм, а острый угол равен $60^\circ$.

a)

Дано:

Прямоугольная трапеция.

Основания: $a = 7.5$ см, $b = 5$ см.

Окружность вписана в трапецию.

Перевод в СИ:

$a = 7.5 \text{ см} = 0.075 \text{ м}$

$b = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $r$.

Решение:

Для любой трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a$ и $b$, а боковые стороны $c_1$ и $c_2$. Тогда $a+b = c_1+c_2$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Пусть эта сторона $c_1 = h = 2r$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, у которого один катет равен высоте трапеции $h$, другой катет равен разности длин оснований $a-b$, а гипотенуза - вторая боковая сторона $c_2$.

По теореме Пифагора: $c_2^2 = h^2 + (a-b)^2$.

Из условия вписанной окружности: $a+b = c_1+c_2$. Так как $c_1=h$, то $a+b = h+c_2$, откуда $c_2 = a+b-h$.

Подставим выражение для $c_2$ в уравнение Пифагора:

$(a+b-h)^2 = h^2 + (a-b)^2$

Раскроем скобки:

$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (a-b)^2$

$(a+b)^2 - 2h(a+b) = (a-b)^2$

Перенесем $2h(a+b)$ в правую часть и $(a-b)^2$ в левую:

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 2h(a+b)$

Используем формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:

$((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)) = 2h(a+b)$

$(a+b-a+b)(a+b+a-b) = 2h(a+b)$

$(2b)(2a) = 2h(a+b)$

$4ab = 2h(a+b)$

Выразим высоту $h$:

$h = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$

Так как $h = 2r$, то:

$2r = \frac{2ab}{a+b}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $r$:

$r = \frac{ab}{a+b}$

Подставим значения $a = 7.5$ см и $b = 5$ см:

$r = \frac{7.5 \cdot 5}{7.5 + 5} = \frac{37.5}{12.5} = 3$

Радиус окружности равен 3 см.

Ответ: 3 см

б)

Дано:

Равнобедренная трапеция.

Большее основание $a = 3$ дм.

Острый угол $\alpha = 60^\circ$.

Окружность вписана в трапецию.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Радиус окружности $r$.

Решение:

Для любой трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a$ и $b$, а боковые стороны $c$. Так как трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны $c$. Тогда $a+b = 2c$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$.

Опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза - боковая сторона $c$, противолежащий катет - высота $h$. Острый угол этого треугольника равен $\alpha$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{c}$.

Отсюда $h = c \sin \alpha$.

Подставим $h=2r$:

$2r = c \sin \alpha$.

Из условия $a+b=2c$, выразим $c$: $c = \frac{a+b}{2}$.

Подставим это выражение для $c$ в предыдущее уравнение:

$2r = \frac{a+b}{2} \sin \alpha$

$4r = (a+b) \sin \alpha$. (1)

В том же прямоугольном треугольнике, прилежащий катет равен $\frac{a-b}{2}$. По определению косинуса: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{(a-b)/2}{c}$.

Отсюда $\frac{a-b}{2} = c \cos \alpha$.

Из $2r = c \sin \alpha$ мы можем выразить $c = \frac{2r}{\sin \alpha}$. Подставим это в уравнение для $\frac{a-b}{2}$:

$\frac{a-b}{2} = \frac{2r}{\sin \alpha} \cos \alpha = 2r \cot \alpha$.

$a-b = 4r \cot \alpha$.

Выразим $b$: $b = a - 4r \cot \alpha$.

Теперь подставим это выражение для $b$ в уравнение (1):

$4r = (a + (a - 4r \cot \alpha)) \sin \alpha$

$4r = (2a - 4r \cot \alpha) \sin \alpha$

$4r = 2a \sin \alpha - 4r \cot \alpha \sin \alpha$

Так как $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, то $\cot \alpha \sin \alpha = \cos \alpha$:

$4r = 2a \sin \alpha - 4r \cos \alpha$

Перенесем члены с $r$ в левую часть:

$4r + 4r \cos \alpha = 2a \sin \alpha$

Вынесем $4r$ за скобки:

$4r(1+\cos \alpha) = 2a \sin \alpha$

Выразим $r$:

$r = \frac{2a \sin \alpha}{4(1+\cos \alpha)} = \frac{a \sin \alpha}{2(1+\cos \alpha)}$

Используем формулы половинного угла: $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1+\cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

$r = \frac{a \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a \sin(\frac{\alpha}{2})}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим заданные значения: $a = 3$ дм, $\alpha = 60^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Значение $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$r = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Радиус окружности равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм