Номер 324, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

324. Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 5 см, а синус ее острого угла равен 0,8.

Найдите площадь этой трапеции.

Дано:

Трапеция описана около окружности.

Трапеция равнобедренная.

Средняя линия $m = 5 \text{ см}$.

Синус острого угла $\sin(\alpha) = 0.8$.

Перевод в СИ:

$m = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

$\sin(\alpha) = 0.8$.

Найти:

Площадь $S$.

Решение:

Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, выполняется свойство, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны между собой, то есть $c_1 = c_2 = c$.

Следовательно, $a+b = c+c = 2c$.

Средняя линия трапеции $m$ определяется как полусумма оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Подставим выражение для суммы оснований $a+b = 2c$ в формулу средней линии:

$m = \frac{2c}{2} = c$

Таким образом, для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, средняя линия равна боковой стороне. По условию, средняя линия $m = 5 \text{ см}$, значит, боковая сторона $c = 5 \text{ см}$.

Высота $h$ трапеции может быть найдена через боковую сторону $c$ и синус острого угла $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и частью большего основания. В этом треугольнике высота является катетом, противолежащим острому углу $\alpha$, а боковая сторона — гипотенузой.

$h = c \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения $c = 5 \text{ см}$ и $\sin(\alpha) = 0.8$:

$h = 5 \text{ см} \cdot 0.8 = 4 \text{ см}$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле произведения средней линии на высоту:

$S = m \cdot h$

Подставим значения средней линии $m = 5 \text{ см}$ и высоты $h = 4 \text{ см}$:

$S = 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Ответ: $20 \text{ см}^2$.