Вопросы, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

2. Сформулируйте и докажите свойство сторон описанного около окружности четырехугольника.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, описанного около окружности.

1. Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. В таком случае окружность называется вписанной в четырехугольник.

Ответ: Четырехугольник, все стороны которого являются касательными к некоторой окружности, называется описанным около этой окружности.

2. Сформулируйте и докажите свойство сторон описанного около окружности четырехугольника.

Формулировка свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Дано:

Пусть $ABCD$ — четырехугольник, описанный около окружности с центром $O$.

Пусть $K, L, M, N$ — точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Найти:

Доказать, что $AB+CD = BC+DA$.

Решение:

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершины до точки касания равны. Следовательно:

• $AK = AN$

• $BK = BL$

• $CL = CM$

• $DM = DN$

Обозначим длины этих равных отрезков: $AK = AN = x_1$, $BK = BL = x_2$, $CL = CM = x_3$, $DM = DN = x_4$.

Длины сторон четырехугольника можно выразить как суммы этих отрезков:

• $AB = AK + KB = x_1 + x_2$

• $BC = BL + LC = x_2 + x_3$

• $CD = CM + MD = x_3 + x_4$

• $DA = DN + NA = x_4 + x_1$

Теперь найдем суммы длин противоположных сторон:

$AB + CD = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$

$BC + DA = (x_2 + x_3) + (x_4 + x_1) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$

Таким образом, мы видим, что $AB+CD = BC+DA$.

Ответ: Суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, описанного около окружности.

Формулировка признака: Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Дано:

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, такой что $AB+CD = BC+DA$.

Найти:

Доказать, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Решение:

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $AB+CD = BC+DA$.

Построим окружность $\omega$, которая касается трех сторон четырехугольника: $AB, BC, CD$. Такая окружность существует и единственна. Пусть эта окружность касается сторон $AB, BC, CD$ в точках $K, L, M$ соответственно.

Предположим, что окружность $\omega$ не касается стороны $DA$. Поскольку $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, сторона $DA$ должна находиться вне окружности $\omega$. Тогда из вершины $D$ можно провести вторую касательную к окружности $\omega$, отличную от $DC$. Пусть эта касательная пересекает прямую $AB$ в точке $A'$.

Таким образом, образовался четырехугольник $A'BCD$, который по построению описан около окружности $\omega$.

Согласно свойству описанного четырехугольника (доказанному в пункте 2), для четырехугольника $A'BCD$ выполняется равенство:

$A'B + CD = BC + DA'$

По условию задачи, для четырехугольника $ABCD$ мы имеем:

$AB + CD = BC + DA$

Вычтем первое равенство из второго:

$(AB + CD) - (A'B + CD) = (BC + DA) - (BC + DA')$

Что упрощается до:

$AB - A'B = DA - DA'$

Рассмотрим расположение точки $A'$ на прямой $AB$ относительно точки $A$:

1. Если точка $A'$ лежит между $A$ и $B$, то $AB = AA' + A'B$. Подставим это в равенство: $(AA' + A'B) - A'B = DA - DA'$ $AA' = DA - DA'$ Это означает, что $DA' + AA' = DA$. В треугольнике $DAA'$ по неравенству треугольника сумма двух сторон должна быть строго больше третьей стороны: $DA' + AA' > DA$. Равенство возможно только в случае, если точки $D, A', A$ лежат на одной прямой, и $A'$ лежит между $D$ и $A$. Но точка $A'$ также лежит на прямой $AB$. Следовательно, $A'$ является точкой пересечения прямых $DA$ и $AB$. Поскольку $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, $A'$ может совпадать только с вершиной $A$.

2. Если точка $A$ лежит между $A'$ и $B$, то $A'B = A'A + AB$. Подставим это в равенство $AB - A'B = DA - DA'$: $AB - (A'A + AB) = DA - DA'$ $-A'A = DA - DA'$ $A'A = DA' - DA$ Это означает, что $DA + A'A = DA'$. В треугольнике $DAA'$ по неравенству треугольника $DA + A'A > DA'$. Равенство возможно только в случае, если точки $D, A, A'$ лежат на одной прямой, и $A$ лежит между $D$ и $A'$. Но точка $A$ также лежит на прямой $A'B$ (то есть $AB$). Следовательно, $A$ является точкой пересечения прямых $DA'$ и $A'B$. Таким образом, $A$ должна совпадать с $A'$.

Оба случая приводят к тому, что точка $A'$ должна совпадать с точкой $A$.

Это означает, что предположение о том, что окружность $\omega$ не касается стороны $DA$, является ложным. Следовательно, окружность $\omega$, касающаяся сторон $AB, BC, CD$, должна касаться и стороны $DA$.

Таким образом, в выпуклый четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Ответ: Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.