Номер 316, страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

316. a) Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если два его противоположных угла относятся как $3:5$, а два других – как $4:5$.

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если точки A, B, C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся соответственно как $17:21:19:15$.

а) Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если два его противоположных угла относятся как 3 : 5, а два других — как 4 : 5.

Дано:

Вписанный в окружность четырехугольник.

Отношение первой пары противоположных углов: $\alpha_1 : \alpha_2 = 3 : 5$.

Отношение второй пары противоположных углов: $\alpha_3 : \alpha_4 = 4 : 5$.

Найти:

Величины всех углов четырехугольника.

Решение:

Свойство вписанного в окружность четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Пусть $\alpha_1, \alpha_2$ — первая пара противоположных углов, а $\alpha_3, \alpha_4$ — вторая пара.

Для первой пары углов:

Дано отношение $\alpha_1 : \alpha_2 = 3 : 5$. Это означает, что $\alpha_1 = 3k$ и $\alpha_2 = 5k$ для некоторого коэффициента $k$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 180^\circ$

$3k + 5k = 180^\circ$

$8k = 180^\circ$

$k = \frac{180}{8} = 22.5^\circ$

Тогда углы первой пары:

$\alpha_1 = 3 \times 22.5^\circ = 67.5^\circ$

$\alpha_2 = 5 \times 22.5^\circ = 112.5^\circ$

Для второй пары углов:

Дано отношение $\alpha_3 : \alpha_4 = 4 : 5$. Это означает, что $\alpha_3 = 4m$ и $\alpha_4 = 5m$ для некоторого коэффициента $m$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника:

$\alpha_3 + \alpha_4 = 180^\circ$

$4m + 5m = 180^\circ$

$9m = 180^\circ$

$m = \frac{180}{9} = 20^\circ$

Тогда углы второй пары:

$\alpha_3 = 4 \times 20^\circ = 80^\circ$

$\alpha_4 = 5 \times 20^\circ = 100^\circ$

Ответ: $67.5^\circ, 112.5^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если точки A, B, C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся соответственно как 17 : 21 : 19 : 15.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

Точки $A, B, C, D$ делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся соответственно как $\text{arc AB} : \text{arc BC} : \text{arc CD} : \text{arc DA} = 17 : 21 : 19 : 15$.

Найти:

Величины углов четырехугольника $A, B, C, D$.

Решение:

Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$. Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности.

Тогда градусные меры дуг: $17k, 21k, 19k, 15k$.

$17k + 21k + 19k + 15k = 360^\circ$

$(17 + 21 + 19 + 15)k = 360^\circ$

$72k = 360^\circ$

$k = \frac{360}{72} = 5^\circ$

Найдем градусные меры каждой дуги:

$\text{arc AB} = 17 \times 5^\circ = 85^\circ$

$\text{arc BC} = 21 \times 5^\circ = 105^\circ$

$\text{arc CD} = 19 \times 5^\circ = 95^\circ$

$\text{arc DA} = 15 \times 5^\circ = 75^\circ$

Угол, вписанный в окружность, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $A$ (угол $DAB$) опирается на дугу $BCD$:

$\text{arc BCD} = \text{arc BC} + \text{arc CD} = 105^\circ + 95^\circ = 200^\circ$

$\angle A = \frac{1}{2} \text{arc BCD} = \frac{1}{2} \times 200^\circ = 100^\circ$

Угол $B$ (угол $ABC$) опирается на дугу $CDA$:

$\text{arc CDA} = \text{arc CD} + \text{arc DA} = 95^\circ + 75^\circ = 170^\circ$

$\angle B = \frac{1}{2} \text{arc CDA} = \frac{1}{2} \times 170^\circ = 85^\circ$

Угол $C$ (угол $BCD$) опирается на дугу $DAB$:

$\text{arc DAB} = \text{arc DA} + \text{arc AB} = 75^\circ + 85^\circ = 160^\circ$

$\angle C = \frac{1}{2} \text{arc DAB} = \frac{1}{2} \times 160^\circ = 80^\circ$

Угол $D$ (угол $CDA$) опирается на дугу $ABC$:

$\text{arc ABC} = \text{arc AB} + \text{arc BC} = 85^\circ + 105^\circ = 190^\circ$

$\angle D = \frac{1}{2} \text{arc ABC} = \frac{1}{2} \times 190^\circ = 95^\circ$

Ответ: Углы четырехугольника $ABCD$ равны: $\angle A = 100^\circ, \angle B = 85^\circ, \angle C = 80^\circ, \angle D = 95^\circ$.