Вопросы, страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность?

2. Сформулируйте и докажите свойство углов вписанного в окружность четырехугольника.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, вписанного в окружность.

1. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность?

Решение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его четыре вершины лежат на этой окружности.

Ответ: Четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

2. Сформулируйте и докажите свойство углов вписанного в окружность четырехугольника.

Решение

Свойство: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность с центром $O$.

Рассмотрим противоположные углы $A$ и $C$.

Угол $A$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BCD$. Следовательно, его мера равна половине градусной меры этой дуги: $\angle A = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD$.

Угол $C$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BAD$. Следовательно, его мера равна половине градусной меры этой дуги: $\angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BAD$.

Сумма дуг $BCD$ и $BAD$ составляет всю окружность, то есть $360^\circ$.

Таким образом, $\text{дуга } BCD + \text{дуга } BAD = 360^\circ$.

Тогда сумма углов $A$ и $C$ равна:

$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD + \frac{1}{2} \text{дуги } BAD = \frac{1}{2} (\text{дуги } BCD + \text{дуги } BAD) = \frac{1}{2} (360^\circ) = 180^\circ$.

Аналогично, для противоположных углов $B$ и $D$:

Угол $B$ опирается на дугу $ADC$, поэтому $\angle B = \frac{1}{2} \text{дуги } ADC$.

Угол $D$ опирается на дугу $ABC$, поэтому $\angle D = \frac{1}{2} \text{дуги } ABC$.

Сумма дуг $ADC$ и $ABC$ составляет $360^\circ$.

Следовательно, $\angle B + \angle D = \frac{1}{2} (\text{дуги } ADC + \text{дуги } ABC) = \frac{1}{2} (360^\circ) = 180^\circ$.

Таким образом, сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Доказано.

Ответ: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$. Доказательство приведено выше.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, вписанного в окружность.

Решение

Признак: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то этот четырехугольник можно вписать в окружность.

Доказательство:

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, у которого $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Возьмем три вершины четырехугольника $A$, $B$, $D$. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. Проведем окружность через точки $A$, $B$, $D$.

Предположим, что вершина $C$ не лежит на этой окружности.

Случай 1: Точка $C$ лежит внутри окружности.

Продлим отрезок $BC$ до пересечения с окружностью в точке $C'$. Тогда четырехугольник $ABC'D$ является вписанным в окружность.

По свойству углов вписанного четырехугольника (доказанному в пункте 2), сумма противоположных углов $ABC'D$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$.

По условию нам дано, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle C = \angle BC'D$.

Однако, в треугольнике $CC'D$, угол $BCD$ (который есть $\angle C$) является внешним углом по отношению к углу $BC'D$ (который есть $\angle C'D$).

Следовательно, $\angle C = \angle BC'D + \angle CDC'$.

Это означает, что $\angle C > \angle BC'D$.

Получаем противоречие: $\angle C = \angle BC'D$ и $\angle C > \angle BC'D$. Значит, точка $C$ не может лежать внутри окружности.

Случай 2: Точка $C$ лежит вне окружности.

Проведем отрезок $BC$ до его пересечения с окружностью в точке $C'$. Тогда четырехугольник $ABC'D$ является вписанным в окружность.

По свойству углов вписанного четырехугольника, $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$.

По условию нам дано, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle C = \angle BC'D$.

Однако, в треугольнике $CC'D$, угол $BC'D$ (который есть $\angle C'$) является внешним углом по отношению к углу $BCD$ (который есть $\angle C$).

Следовательно, $\angle BC'D = \angle C + \angle CDC'$.

Это означает, что $\angle BC'D > \angle C$.

Получаем противоречие: $\angle C = \angle BC'D$ и $\angle BC'D > \angle C$. Значит, точка $C$ не может лежать вне окружности.

Поскольку точка $C$ не может находиться ни внутри, ни вне окружности, она должна лежать на окружности.

Таким образом, если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то этот четырехугольник можно вписать в окружность. Доказано.

Ответ: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то этот четырехугольник можно вписать в окружность. Доказательство приведено выше.