Номер 309, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

309. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8 см, а угол при вершине $72^\circ$. Найдите длину основания и биссектрисы треугольника, проведенной из вершины угла при основании.

Дано

В равнобедренном треугольнике $ABC$:

$AB = AC = 8 \text{ см}$ (боковые стороны)

$\angle BAC = 72^\circ$ (угол при вершине)

В СИ:

$AB = AC = 0.08 \text{ м}$

$\angle BAC = 72^\circ$

Найти:

Длину основания $BC$

Длину биссектрисы, проведенной из вершины угла при основании (например, $BD$)

Решение

Нахождение длины основания

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $B$ и $C$ равны. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$

Для нахождения длины основания $BC$ (обозначим ее $a$) воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$\frac{a}{\sin(72^\circ)} = \frac{8}{\sin(54^\circ)}$

Выразим $a$:

$a = \frac{8 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(54^\circ)}$

Используем приближенные значения синусов: $\sin(72^\circ) \approx 0.9510565$ и $\sin(54^\circ) \approx 0.8090170$.

$a \approx \frac{8 \cdot 0.9510565}{0.8090170} \approx \frac{7.608452}{0.8090170} \approx 9.4045 \text{ см}$

Округляем до двух знаков после запятой.

Ответ: $9.40 \text{ см}$

Нахождение длины биссектрисы

Пусть $BD$ - биссектриса угла $ABC$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.

Биссектриса $BD$ делит угол $ABC$ пополам:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$

Рассмотрим треугольник $ABD$. Нам известны следующие элементы:

Сторона $AB = 8 \text{ см}$

Угол $\angle BAD = \angle BAC = 72^\circ$

Угол $\angle ABD = 27^\circ$

Найдем третий угол треугольника $ABD$:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 72^\circ - 27^\circ = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABD$ для нахождения длины биссектрисы $BD$ (обозначим ее $l_b$):

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

$\frac{l_b}{\sin(72^\circ)} = \frac{8}{\sin(81^\circ)}$

Выразим $l_b$:

$l_b = \frac{8 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(81^\circ)}$

Используем приближенные значения синусов: $\sin(72^\circ) \approx 0.9510565$ и $\sin(81^\circ) \approx 0.9876883$.

$l_b \approx \frac{8 \cdot 0.9510565}{0.9876883} \approx \frac{7.608452}{0.9876883} \approx 7.7035 \text{ см}$

Округляем до двух знаков после запятой.

Ответ: $7.70 \text{ см}$