Номер 304, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

304. a) В $ \triangle ABC $ $ \angle C = 135^\circ $, высоты $ AK = 4\sqrt{2} $ см и $ BH = 8 $ см. Найдите сторону $ AB $ и площадь этого треугольника.

б) Найдите площадь участка земли, имеющего форму треугольника со стороной 20 м и прилежащими к ней углами $ 37^\circ $ и $ 53^\circ $.

а)

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$

Угол $\angle C = 135^\circ$

Высота $AK = 4\sqrt{2}$ см (высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$ или ее продолжение)

Высота $BH = 8$ см (высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$ или ее продолжение)

Перевод в СИ:

$AK = 4\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

$BH = 8 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Сторона $AB$

Площадь $S_{\triangle ABC}$

Решение:

Так как угол $\angle C = 135^\circ$ является тупым, то высоты $AK$ и $BH$ будут опускаться на продолжения сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. Угол $\angle ACK$ является смежным с углом $\angle C$, поэтому $\angle ACK = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AKC$ (где $AK$ - катет, $AC$ - гипотенуза):

$AC = \frac{AK}{\sin(\angle ACK)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Угол $\angle BCH$ также является смежным с углом $\angle C$, поэтому $\angle BCH = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ (где $BH$ - катет, $BC$ - гипотенуза):

$BC = \frac{BH}{\sin(\angle BCH)} = \frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C)$

Подставим найденные значения $AC$, $BC$ и заданный угол $\angle C$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)$

Так как $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 64\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 1 = 32$ см$^2$.

Для нахождения стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим значения $AC=8$ см, $BC=8\sqrt{2}$ см и $\angle C = 135^\circ$:

$AB^2 = 8^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$

Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AB^2 = 64 + (64 \cdot 2) - 2 \cdot 64\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$AB^2 = 64 + 128 - (-64 \cdot 2)$

$AB^2 = 64 + 128 + 128 = 64 + 256 = 320$

Теперь найдем $AB$, извлекая квадратный корень:

$AB = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$ см.

Ответ: Сторона $AB = 8\sqrt{5}$ см, площадь $S_{\triangle ABC} = 32$ см$^2$.

б)

Дано:

Треугольный участок земли

Одна сторона $c = 20$ м

Прилежащие к ней углы $\alpha = 37^\circ$, $\beta = 53^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже заданы в системе СИ.

Найти:

Площадь $S$ участка

Решение:

Пусть данная сторона будет $AB = c = 20$ м, а прилежащие к ней углы - $\angle A = 37^\circ$ и $\angle B = 53^\circ$.

Найдем третий угол треугольника $\angle C$, используя свойство суммы углов треугольника:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 37^\circ - 53^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника равен $90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным. Сторона $c=20$ м является гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем длины катетов $a$ (сторона $BC$, противолежащая углу $\angle A$) и $b$ (сторона $AC$, противолежащая углу $\angle B$). Используем теорему синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C} = 20 \cdot \frac{\sin 37^\circ}{\sin 90^\circ} = 20 \cdot \sin 37^\circ$

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow b = c \cdot \frac{\sin B}{\sin C} = 20 \cdot \frac{\sin 53^\circ}{\sin 90^\circ} = 20 \cdot \sin 53^\circ$

Площадь $S$ треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot (20 \sin 37^\circ) \cdot (20 \sin 53^\circ)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \sin 37^\circ \cdot \sin 53^\circ$

$S = 200 \cdot \sin 37^\circ \cdot \sin 53^\circ$

Используем тригонометрическое тождество $\sin x = \cos(90^\circ - x)$. В нашем случае, $\sin 53^\circ = \cos(90^\circ - 53^\circ) = \cos 37^\circ$.

$S = 200 \cdot \sin 37^\circ \cdot \cos 37^\circ$

Применим формулу синуса двойного угла: $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$.

$S = 100 \cdot (2 \sin 37^\circ \cos 37^\circ) = 100 \cdot \sin(2 \cdot 37^\circ) = 100 \cdot \sin(74^\circ)$

Используя значение $\sin(74^\circ) \approx 0.96126$:

$S \approx 100 \cdot 0.96126 = 96.126$ м$^2$.

Округляем до двух знаков после запятой.

Ответ: Площадь участка примерно $96.13$ м$^2$.