Номер 300, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

300. Докажите, что площадь равностороннего или прямоугольного треугольника меньше $ \frac{1}{2}\pi R^2 $, где $ R $ — радиус описанной около него окружности.

Дано:

Требуется доказать, что площадь $S$ равностороннего или прямоугольного треугольника, для которого $R$ — радиус описанной окружности, удовлетворяет неравенству $S < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Данные представлены в общих символьных обозначениях и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Доказать: $S < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Решение

Доказательство для равностороннего треугольника:

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$.

Площадь равностороннего треугольника выражается формулой: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника связан со стороной $a$ следующим соотношением: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Из этого соотношения выразим сторону $a$: $a = R\sqrt{3}$.

Подставим выражение для $a$ в формулу площади:

$S = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Нам необходимо доказать, что $S < \frac{1}{2}\pi R^2$, то есть:

$\frac{3R^2\sqrt{3}}{4} < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Так как $R$ — радиус, $R > 0$, поэтому можно разделить обе части неравенства на $R^2$ и умножить на 4:

$3\sqrt{3} < 2\pi$.

Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части положительны):

$(3\sqrt{3})^2 < (2\pi)^2$.

$9 \cdot 3 < 4\pi^2$.

$27 < 4\pi^2$.

Известно, что значение $\pi \approx 3.14159$. Следовательно, $\pi^2 \approx (3.14159)^2 \approx 9.8696$.

$4\pi^2 \approx 4 \times 9.8696 = 39.4784$.

Поскольку $27 < 39.4784$, неравенство $3\sqrt{3} < 2\pi$ является истинным.

Таким образом, для равностороннего треугольника $S < \frac{1}{2}\pi R^2$ доказано.

Доказательство для прямоугольного треугольника:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой: $S = \frac{1}{2}ab$.

Для прямоугольного треугольника гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому $c = 2R$.

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим $c = 2R$: $a^2 + b^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Мы знаем, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. Это следует из $(a-b)^2 \ge 0$, что равносильно $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$, или $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Следовательно, $2ab \le a^2 + b^2$.

Подставим $a^2 + b^2 = 4R^2$:

$2ab \le 4R^2$.

Разделим обе части на 2:

$ab \le 2R^2$.

Теперь найдем площадь $S = \frac{1}{2}ab$. Разделим последнее неравенство на 2:

$\frac{1}{2}ab \le R^2$.

Таким образом, $S \le R^2$.

Равенство $S = R^2$ достигается, когда $a=b$, то есть для равнобедренного прямоугольного треугольника. В этом случае $a^2+a^2=(2R)^2 \Rightarrow 2a^2=4R^2 \Rightarrow a^2=2R^2$. Тогда $S = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}(2R^2) = R^2$.

Нам необходимо доказать, что $S < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Мы имеем $S \le R^2$. Теперь сравним $R^2$ с $\frac{1}{2}\pi R^2$.

Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.

Очевидно, что $1 < \frac{\pi}{2}$, или $1 < 1.5708$.

Умножим обе части неравенства на $R^2$ (поскольку $R^2 > 0$):

$R^2 < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Объединяя неравенства $S \le R^2$ и $R^2 < \frac{1}{2}\pi R^2$, получаем $S < \frac{1}{2}\pi R^2$. Строгое неравенство сохраняется, так как $R^2 < \frac{1}{2}\pi R^2$ является строгим.

Таким образом, для прямоугольного треугольника $S < \frac{1}{2}\pi R^2$ доказано.

Ответ:

Доказано, что площадь равностороннего или прямоугольного треугольника всегда меньше $\frac{1}{2}\pi R^2$, где $R$ — радиус описанной около него окружности.