Страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

296. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $5\sqrt{5}$ см, а катет – 5 см. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.

Гипотенуза $c = AB = 5\sqrt{5}$ см.

Катет $a = BC = 5$ см.

Перевод в СИ:

Гипотенуза $c = 5\sqrt{5} \text{ см} = 5\sqrt{5} \times 10^{-2} \text{ м}$.

Катет $a = 5 \text{ см} = 5 \times 10^{-2} \text{ м}$.

Найти:

Длину биссектрисы $L_C$, проведенной из вершины прямого угла (вершины C).

Решение:

1. Найдем длину второго катета $b$ (AC) с помощью теоремы Пифагора.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника справедливо соотношение: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения:

$(5 \text{ см})^2 + b^2 = (5\sqrt{5} \text{ см})^2$

$25 \text{ см}^2 + b^2 = 25 \times 5 \text{ см}^2$

$25 \text{ см}^2 + b^2 = 125 \text{ см}^2$

$b^2 = 125 \text{ см}^2 - 25 \text{ см}^2$

$b^2 = 100 \text{ см}^2$

Извлекаем квадратный корень:

$b = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$.

Таким образом, длины катетов треугольника равны $a = 5$ см и $b = 10$ см.

2. Найдем длину биссектрисы прямого угла.

Длина биссектрисы $L_C$ (или $L_c$) прямого угла в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ может быть найдена по формуле:

$L_c = \frac{\sqrt{2}ab}{a+b}$

Подставим значения $a = 5$ см и $b = 10$ см в формулу:

$L_c = \frac{\sqrt{2} \times 5 \text{ см} \times 10 \text{ см}}{5 \text{ см} + 10 \text{ см}}$

$L_c = \frac{50\sqrt{2} \text{ см}^2}{15 \text{ см}}$

Сократим дробь на общий множитель 5:

$L_c = \frac{10\sqrt{2}}{3} \text{ см}$.

Ответ:

Длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла, равна $\frac{10\sqrt{2}}{3}$ см.

297. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.

Дано

В равнобедренном треугольнике $ABC$:
Основание $AC = 5$ см
Боковые стороны $AB = BC = 20$ см
$AD$ - биссектриса угла $A$ (угла при основании)

Перевод в систему СИ:
$AC = 5$ см $= 0.05$ м
$AB = BC = 20$ см $= 0.20$ м

Найти:

Длину биссектрисы $AD$.

Решение

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где основание $AC = 5$ см, а боковые стороны $AB = BC = 20$ см. Необходимо найти длину биссектрисы $AD$, проведенной из вершины угла при основании $A$ к стороне $BC$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ угла $A$, которая делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$, справедливо отношение:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения:
$\frac{BD}{DC} = \frac{20}{5}$
$\frac{BD}{DC} = 4$

Следовательно, $BD = 4 \cdot DC$.

Также мы знаем, что $BD + DC = BC$. Так как $BC = 20$ см, получаем уравнение:
$4 \cdot DC + DC = 20$
$5 \cdot DC = 20$
$DC = \frac{20}{5}$
$DC = 4$ см

Теперь найдем $BD$:
$BD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16$ см

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся формулой длины биссектрисы угла треугольника. Если биссектриса $l_a$ проведена из вершины $A$ к стороне $a$, и делит ее на отрезки $m$ и $n$, а прилежащие стороны равны $b$ и $c$, то:
$l_a^2 = bc - mn$

В нашем случае, $AD$ - биссектриса. Стороны, образующие угол $A$, это $AB = c = 20$ см и $AC = b = 5$ см. Отрезки, на которые биссектриса делит сторону $BC$, это $BD = m = 16$ см и $DC = n = 4$ см.

Подставим значения в формулу:
$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$
$AD^2 = 20 \cdot 5 - 16 \cdot 4$
$AD^2 = 100 - 64$
$AD^2 = 36$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $AD$:
$AD = \sqrt{36}$
$AD = 6$ см

Ответ:

Длина биссектрисы равна 6 см.

298. Днище $H$ самой глубокой впадины Казахстана Карагие (рисунок 167) расположено так, что с высоты $100 \text{ м}$ над одним из ее краев $C$ оно видно под углом $\angle HAC$, равным $25^\circ$, а с высоты $200 \text{ м}$ – под углом $\angle HBC$, равным $18^\circ$ (когда-то в котловине впадины располагалось соленое озеро, называемое Батыр). Какова глубина этой впадины относительно края $C$? (Найдите ответ с точностью до $1 \text{ м}$).

a)

б)

Рисунок 167

Высота первой точки наблюдения над краем C: $h_1 = 100 \text{ м}$
Высота второй точки наблюдения над краем C: $h_2 = 200 \text{ м}$
Угол наблюдения дна H из первой точки A (относительно вертикали AC): $\alpha = 25^\circ$
Угол наблюдения дна H из второй точки B (относительно вертикали BC): $\beta = 18^\circ$

Глубина впадины относительно края C: $h$

Обозначим горизонтальное расстояние от вертикальной линии, проходящей через точки C, A, B, до дна H как $L$.
Пусть $h$ - искомая глубина впадины от края C до дна H. Точки C, A, B расположены на одной вертикальной линии, причем C находится на краю впадины (условно на уровне 0), A на высоте 100 м над C, B на высоте 200 м над C.
Дно H находится на глубине $h$ ниже C.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой наблюдения A, дном H и проекцией дна H на вертикальную линию CAB (назовем эту проекцию $P_H$). В этом треугольнике:
1. Противолежащий катет к углу $\alpha$ - это горизонтальное расстояние $L$.
2. Прилежащий катет к углу $\alpha$ - это вертикальное расстояние от точки A до дна H. Поскольку A находится на высоте 100 м над C, а H на глубине $h$ ниже C, то вертикальное расстояние от A до H составляет $100 + h$ м.
Таким образом, из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{L}{100 + h} $ Выразим $L$ из этого уравнения: $ L = (100 + h) \tan(\alpha) \quad (1) $

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой наблюдения B, дном H и проекцией дна H на вертикальную линию CAB ($P_H$).
1. Противолежащий катет к углу $\beta$ - это горизонтальное расстояние $L$.
2. Прилежащий катет к углу $\beta$ - это вертикальное расстояние от точки B до дна H. Поскольку B находится на высоте 200 м над C, а H на глубине $h$ ниже C, то вертикальное расстояние от B до H составляет $200 + h$ м.
Таким образом: $ \tan(\beta) = \frac{L}{200 + h} $ Выразим $L$ из этого уравнения: $ L = (200 + h) \tan(\beta) \quad (2) $

Приравняем выражения для $L$ из уравнений (1) и (2), так как горизонтальное расстояние $L$ одинаково для обоих случаев: $ (100 + h) \tan(\alpha) = (200 + h) \tan(\beta) $ Раскроем скобки: $ 100 \tan(\alpha) + h \tan(\alpha) = 200 \tan(\beta) + h \tan(\beta) $ Перенесем слагаемые, содержащие $h$, в левую часть уравнения, а остальные слагаемые - в правую: $ h \tan(\alpha) - h \tan(\beta) = 200 \tan(\beta) - 100 \tan(\alpha) $ Вынесем $h$ за скобки: $ h (\tan(\alpha) - \tan(\beta)) = 200 \tan(\beta) - 100 \tan(\alpha) $ Выразим $h$: $ h = \frac{200 \tan(\beta) - 100 \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) - \tan(\beta)} $

Подставим числовые значения: $\alpha = 25^\circ$, $\beta = 18^\circ$.
Используем приближенные значения тангенсов:
$ \tan(25^\circ) \approx 0.466307658 $
$ \tan(18^\circ) \approx 0.324919696 $

Выполним вычисления: $ h = \frac{200 \cdot 0.324919696 - 100 \cdot 0.466307658}{0.466307658 - 0.324919696} $ $ h = \frac{64.9839392 - 46.6307658}{0.141387962} $ $ h = \frac{18.3531734}{0.141387962} $ $ h \approx 129.8060 \text{ м} $

Округлим полученное значение до 1 метра, как того требует условие задачи. $ h \approx 130 \text{ м} $

Примерно 130 м.

299. Найдите с точностью до $0,1 \text{ см}^2$ площадь прямоугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle A = 60^\circ$, а расстояние от его внутренней точки $M$ до сторон $AB, BC \text{ и } AC$ соответственно равны 3 см, 4 см и 5 см.

Дано

Прямоугольный треугольник $ABC$.

Угол $\angle A = 60^\circ$.

Расстояния от внутренней точки $M$ до сторон треугольника:

до стороны $AB$: $h_{AB} = 3 \text{ см}$

до стороны $BC$: $h_{BC} = 4 \text{ см}$

до стороны $AC$: $h_{AC} = 5 \text{ см}$

Все данные уже в сантиметрах, поэтому перевод в систему СИ для конечного результата в $\text{см}^2$ не требуется.

Найти:

Площадь треугольника $ABC$, $S_{ABC}$, с точностью до $0.1 \text{ см}^2$.

Решение

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным и $\angle A = 60^\circ$, угол $A$ не может быть прямым (так как если бы $\angle A = 90^\circ$, то сумма двух других острых углов была бы $0^\circ$, что невозможно). Следовательно, прямой угол может быть либо при вершине $B$, либо при вершине $C$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Прямой угол при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$)

В этом случае третий угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Обозначим длины сторон: $AC = b$, $BC = a$, $AB = c$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$a = BC = AC \cdot \tan A = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$.

$c = AB = AC / \cos A = b / \cos 60^\circ = b / (1/2) = 2b$.

Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена как сумма площадей трех треугольников $MAB$, $MBC$ и $MAC$, образованных точкой $M$ и вершинами треугольника:

$S_{ABC} = S_{MAB} + S_{MBC} + S_{MAC}$.

Каждая из этих площадей равна половине произведения длины соответствующей стороны на расстояние от точки $M$ до этой стороны:

$S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} c \cdot 3$.

$S_{MBC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} a \cdot 4$.

$S_{MAC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{AC} = \frac{1}{2} b \cdot 5$.

Подставим выражения для $a$ и $c$ через $b$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (2b \cdot 3 + b\sqrt{3} \cdot 4 + b \cdot 5) = \frac{1}{2} b (6 + 4\sqrt{3} + 5) = \frac{1}{2} b (11 + 4\sqrt{3})$.

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} b \cdot a = \frac{1}{2} b (b\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} b^2$.

Приравняем два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} b^2 = \frac{1}{2} b (11 + 4\sqrt{3})$

Поскольку $b \ne 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}b$:

$\sqrt{3} b = 11 + 4\sqrt{3}$

$b = \frac{11 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{11}{\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{11\sqrt{3}}{3} + 4$.

Теперь подставим значение $b$ в формулу площади $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} b^2$:

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{11\sqrt{3}}{3} + 4\right)^2$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{11\sqrt{3} + 12}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(11\sqrt{3} + 12)^2}{9}$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} ((11\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 11\sqrt{3} \cdot 12 + 12^2)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (121 \cdot 3 + 264\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (363 + 264\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (507 + 264\sqrt{3})$

$S_{ABC} = \frac{507\sqrt{3}}{18} + \frac{264\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{18} = \frac{169\sqrt{3}}{6} + \frac{264 \cdot 3}{18}$

$S_{ABC} = \frac{169\sqrt{3}}{6} + 44$.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{ABC} \approx \frac{169 \cdot 1.73205}{6} + 44 \approx \frac{292.51645}{6} + 44 \approx 48.75274 + 44 \approx 92.75274 \text{ см}^2$.

Округляем до $0.1 \text{ см}^2$: $92.8 \text{ см}^2$.

Ответ: $92.8 \text{ см}^2$.

Случай 2: Прямой угол при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$)

В этом случае третий угол $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Обозначим длины сторон: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$a = BC = AB \cdot \tan A = c \tan 60^\circ = c\sqrt{3}$.

$b = AC = AB / \cos A = c / \cos 60^\circ = c / (1/2) = 2c$.

Площадь треугольника $ABC$ как сумма площадей $MAB$, $MBC$ и $MAC$:

$S_{ABC} = S_{MAB} + S_{MBC} + S_{MAC}$.

$S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} c \cdot 3$.

$S_{MBC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} a \cdot 4$.

$S_{MAC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{AC} = \frac{1}{2} b \cdot 5$.

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $c$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (c \cdot 3 + c\sqrt{3} \cdot 4 + 2c \cdot 5) = \frac{1}{2} c (3 + 4\sqrt{3} + 10) = \frac{1}{2} c (13 + 4\sqrt{3})$.

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} c \cdot a = \frac{1}{2} c (c\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} c^2$.

Приравняем два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} c^2 = \frac{1}{2} c (13 + 4\sqrt{3})$

Поскольку $c \ne 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}c$:

$\sqrt{3} c = 13 + 4\sqrt{3}$

$c = \frac{13 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3} + 4$.

Теперь подставим значение $c$ в формулу площади $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} c^2$:

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{13\sqrt{3}}{3} + 4\right)^2$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{13\sqrt{3} + 12}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(13\sqrt{3} + 12)^2}{9}$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} ((13\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 13\sqrt{3} \cdot 12 + 12^2)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (169 \cdot 3 + 312\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (507 + 312\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (651 + 312\sqrt{3})$

$S_{ABC} = \frac{651\sqrt{3}}{18} + \frac{312\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{18} = \frac{217\sqrt{3}}{6} + \frac{312 \cdot 3}{18}$

$S_{ABC} = \frac{217\sqrt{3}}{6} + 52$.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{ABC} \approx \frac{217 \cdot 1.73205}{6} + 52 \approx \frac{376.03585}{6} + 52 \approx 62.67264 + 52 \approx 114.67264 \text{ см}^2$.

Округляем до $0.1 \text{ см}^2$: $114.7 \text{ см}^2$.

Ответ: $114.7 \text{ см}^2$.

300. Докажите, что площадь равностороннего или прямоугольного треугольника меньше $ \frac{1}{2}\pi R^2 $, где $ R $ — радиус описанной около него окружности.

Дано:

Требуется доказать, что площадь $S$ равностороннего или прямоугольного треугольника, для которого $R$ — радиус описанной окружности, удовлетворяет неравенству $S < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Данные представлены в общих символьных обозначениях и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Доказать: $S < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Решение

Доказательство для равностороннего треугольника:

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$.

Площадь равностороннего треугольника выражается формулой: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника связан со стороной $a$ следующим соотношением: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Из этого соотношения выразим сторону $a$: $a = R\sqrt{3}$.

Подставим выражение для $a$ в формулу площади:

$S = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Нам необходимо доказать, что $S < \frac{1}{2}\pi R^2$, то есть:

$\frac{3R^2\sqrt{3}}{4} < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Так как $R$ — радиус, $R > 0$, поэтому можно разделить обе части неравенства на $R^2$ и умножить на 4:

$3\sqrt{3} < 2\pi$.

Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части положительны):

$(3\sqrt{3})^2 < (2\pi)^2$.

$9 \cdot 3 < 4\pi^2$.

$27 < 4\pi^2$.

Известно, что значение $\pi \approx 3.14159$. Следовательно, $\pi^2 \approx (3.14159)^2 \approx 9.8696$.

$4\pi^2 \approx 4 \times 9.8696 = 39.4784$.

Поскольку $27 < 39.4784$, неравенство $3\sqrt{3} < 2\pi$ является истинным.

Таким образом, для равностороннего треугольника $S < \frac{1}{2}\pi R^2$ доказано.

Доказательство для прямоугольного треугольника:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой: $S = \frac{1}{2}ab$.

Для прямоугольного треугольника гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому $c = 2R$.

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим $c = 2R$: $a^2 + b^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Мы знаем, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. Это следует из $(a-b)^2 \ge 0$, что равносильно $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$, или $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Следовательно, $2ab \le a^2 + b^2$.

Подставим $a^2 + b^2 = 4R^2$:

$2ab \le 4R^2$.

Разделим обе части на 2:

$ab \le 2R^2$.

Теперь найдем площадь $S = \frac{1}{2}ab$. Разделим последнее неравенство на 2:

$\frac{1}{2}ab \le R^2$.

Таким образом, $S \le R^2$.

Равенство $S = R^2$ достигается, когда $a=b$, то есть для равнобедренного прямоугольного треугольника. В этом случае $a^2+a^2=(2R)^2 \Rightarrow 2a^2=4R^2 \Rightarrow a^2=2R^2$. Тогда $S = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}(2R^2) = R^2$.

Нам необходимо доказать, что $S < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Мы имеем $S \le R^2$. Теперь сравним $R^2$ с $\frac{1}{2}\pi R^2$.

Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.

Очевидно, что $1 < \frac{\pi}{2}$, или $1 < 1.5708$.

Умножим обе части неравенства на $R^2$ (поскольку $R^2 > 0$):

$R^2 < \frac{1}{2}\pi R^2$.

Объединяя неравенства $S \le R^2$ и $R^2 < \frac{1}{2}\pi R^2$, получаем $S < \frac{1}{2}\pi R^2$. Строгое неравенство сохраняется, так как $R^2 < \frac{1}{2}\pi R^2$ является строгим.

Таким образом, для прямоугольного треугольника $S < \frac{1}{2}\pi R^2$ доказано.

Ответ:

Доказано, что площадь равностороннего или прямоугольного треугольника всегда меньше $\frac{1}{2}\pi R^2$, где $R$ — радиус описанной около него окружности.