Страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

278. Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$ и $B$, и их общая касательная $MN$, где $M$ и $N$ – точки касания. Докажите, что прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

Дано:

Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$ и $B$.

Общая касательная этих окружностей $MN$, где $M$ – точка касания с первой окружностью, а $N$ – точка касания со второй окружностью.

Найти:

Доказать, что прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

Решение:

Пусть прямая $AB$, которая является общей хордой двух окружностей, пересекает общую касательную $MN$ в точке $P$. Наша задача – доказать, что точка $P$ является серединой отрезка $MN$, то есть $PM = PN$.

Рассмотрим первую окружность. Точка $P$ находится вне этой окружности. Отрезок $PM$ является касательной к этой окружности, проведенной из точки $P$. Прямая $PB$ является секущей к этой же окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Согласно теореме о касательной и секущей (или свойству степени точки относительно окружности), квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью.

Таким образом, для первой окружности имеем:

$PM^2 = PA \cdot PB$

Теперь рассмотрим вторую окружность. Точка $P$ также находится вне этой окружности. Отрезок $PN$ является касательной ко второй окружности, проведенной из точки $P$. Прямая $PA$ (или $PB$) является секущей ко второй окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Применяя ту же теорему о касательной и секущей для второй окружности, получаем:

$PN^2 = PA \cdot PB$

Сравнивая полученные два равенства, мы видим, что их правые части абсолютно одинаковы:

$PM^2 = PN^2$

Поскольку $PM$ и $PN$ представляют собой длины отрезков, они должны быть положительными числами. Из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$PM = PN$

Это равенство означает, что точка $P$, являющаяся точкой пересечения прямой $AB$ и отрезка $MN$, делит отрезок $MN$ на две равные части. Следовательно, прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

Ответ:

Доказано, что прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

279. Докажите, что в произвольном разностороннем треугольнике $BAC$ биссектриса $AN$:

a) делит пополам угол между его высотой $AH$ и диаметром $AD$ окружности, описанной около него;

б) лежит между высотой $AH$ и медианой $AM$.

Дано: треугольник $BAC$, разносторонний. $AN$ - биссектриса угла $A$. $AH$ - высота, проведенная из вершины $A$. $AD$ - диаметр окружности, описанной около треугольника $BAC$. $AM$ - медиана, проведенная из вершины $A$.

Найти: Доказать утверждения a) и b).

Решение

Пусть углы треугольника $BAC$ обозначены $A, B, C$ соответственно, т.е. $\angle BAC = A$, $\angle ABC = B$, $\angle ACB = C$. Так как треугольник разносторонний, то $B \neq C$. Без потери общности, будем считать, что $B > C$. Это означает, что сторона $AC$ (обозначим её длину как $b$) длиннее стороны $AB$ (обозначим её длину как $c$), т.е. $b > c$.

a) биссектриса $AN$ делит пополам угол между его высотой $AH$ и диаметром $AD$ окружности, описанной около него;

Для доказательства этого утверждения, нам необходимо показать, что $\angle HAN = \angle NAD$.

1. Рассмотрим высоту $AH$. В прямоугольном треугольнике $ABH$, угол $\angle BAH = 90^\circ - B$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $ACH$, угол $\angle CAH = 90^\circ - C$.

2. Рассмотрим диаметр $AD$ описанной окружности. Поскольку $AD$ является диаметром, любой вписанный угол, опирающийся на $AD$, равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle ABD = 90^\circ$.

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $\angle ADC$ опирается на дугу $AC$, и угол $\angle ABC$ также опирается на дугу $AC$. Значит, $\angle ADC = \angle ABC = B$.

4. В прямоугольном треугольнике $ACD$ ($\angle ACD = 90^\circ$), угол $\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - B$.

5. Аналогично, угол $\angle ADB$ опирается на дугу $AB$, и $\angle ACB = C$ также опирается на дугу $AB$. Значит, $\angle ADB = \angle ACB = C$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ ($\angle ABD = 90^\circ$), угол $\angle BAD = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - C$.

6. Биссектриса $AN$ делит угол $A$ пополам, то есть $\angle BAN = \angle CAN = A/2$.

Теперь найдем углы $\angle HAN$ и $\angle NAD$. Для этого можно использовать углы относительно сторон $AB$ или $AC$. Воспользуемся углами, относящимися к лучу $AC$ (или $AB$, это симметрично). Для удобства расчета, будем использовать, что $A + B + C = 180^\circ$, откуда $A/2 = 90^\circ - (B+C)/2$.

Угол $\angle HAN$ - это угол между $AH$ и $AN$. Его можно выразить как $|\angle CAN - \angle CAH|$ (если $AN$ и $AH$ по одну сторону от $AC$) или $\angle CAH - \angle CAN$ в зависимости от порядка. Так как треугольник разносторонний, $B \neq C$. Предположим $B > C$. Тогда $90^\circ - B < 90^\circ - C$. $A/2 = 90^\circ - (B+C)/2$. Сравним $A/2$ и $90^\circ - C$: $A/2 - (90^\circ - C) = (90^\circ - (B+C)/2) - 90^\circ + C = C - (B+C)/2 = (2C - B - C)/2 = (C-B)/2$. Поскольку $B > C$, то $(C-B)/2 < 0$. Значит, $A/2 < 90^\circ - C$. Таким образом, $\angle CAN < \angle CAH$. Это означает, что луч $AN$ находится между $AC$ и $AH$. Поэтому $\angle HAN = \angle CAH - \angle CAN = (90^\circ - C) - A/2 = (90^\circ - C) - (90^\circ - (B+C)/2) = (B+C)/2 - C = (B-C)/2$.

Угол $\angle NAD$ - это угол между $AN$ и $AD$. Сравним $A/2$ и $90^\circ - B$: $A/2 - (90^\circ - B) = (90^\circ - (B+C)/2) - (90^\circ - B) = B - (B+C)/2 = (B-C)/2$. Поскольку $B > C$, то $(B-C)/2 > 0$. Значит, $A/2 > 90^\circ - B$. Таким образом, $\angle CAN > \angle CAD$. Это означает, что луч $AD$ находится между $AC$ и $AN$. Поэтому $\angle NAD = \angle CAN - \angle CAD = A/2 - (90^\circ - B) = (B-C)/2$.

Мы получили $\angle HAN = (B-C)/2$ и $\angle NAD = (B-C)/2$. Следовательно, $\angle HAN = \angle NAD$. Это означает, что биссектриса $AN$ делит пополам угол между высотой $AH$ и диаметром $AD$. (Стоит отметить, что лучи $AH$ и $AD$ в случае $B>C$ лежат по разные стороны от $AN$).

Ответ: доказано.

б) лежит между высотой $AH$ и медианой $AM$.

Для доказательства этого утверждения, нам необходимо показать, что луч $AN$ находится в угловой области между лучами $AH$ и $AM$. Это означает, что при отсчете углов от одного из лучей $AB$ или $AC$, луч $AN$ будет иметь промежуточное значение угла по сравнению с лучами $AH$ и $AM$.

1. Вспомним углы, измеренные от луча $AB$: Угол между $AB$ и $AH$: $\angle BAH = 90^\circ - B$. Угол между $AB$ и $AN$: $\angle BAN = A/2$.

2. Рассмотрим медиану $AM$. Медиана, проведенная из вершины $A$, всегда "притягивается" к более длинной из двух сторон, исходящих из этой вершины. Мы предположили $B > C$, что означает $AC > AB$ (сторона $b$ длиннее стороны $c$). Следовательно, медиана $AM$ будет ближе к стороне $AC$ (более длинной стороне $AC$, а не к $AB$). Это означает, что угол $\angle BAM$ будет меньше, чем $A/2$ (т.к. $\angle BAM + \angle CAM = A$, и $\angle BAM < \angle CAM$).

Итак, имеем три угла, измеряемые от луча $AB$ по порядку возрастания: $\angle BAM$ (известно, что $\angle BAM < A/2$). $\angle BAN = A/2$. $\angle BAH = 90^\circ - B$.

3. Сравним $\angle BAN$ и $\angle BAH$: Сравним $A/2$ и $90^\circ - B$. Разность $A/2 - (90^\circ - B) = (90^\circ - (B+C)/2) - (90^\circ - B) = B - (B+C)/2 = (2B - B - C)/2 = (B-C)/2$. Поскольку мы предположили $B > C$, то $(B-C)/2 > 0$. Значит, $A/2 > 90^\circ - B$. Следовательно, $\angle BAN > \angle BAH$. Это означает, что луч $AH$ находится между лучом $AB$ и лучом $AN$.

4. Сравним $\angle BAN$ и $\angle BAM$: Мы установили, что поскольку $b > c$ ($AC > AB$), медиана $AM$ ближе к $AC$, поэтому $\angle BAM < A/2$. Следовательно, $\angle BAM < \angle BAN$. Это означает, что луч $AM$ находится между лучом $AB$ и лучом $AN$.

5. Объединим результаты: Мы имеем $\angle BAM < \angle BAN$ и $\angle BAH < \angle BAN$. Для того чтобы $AN$ лежала между $AH$ и $AM$, эти два луча должны располагаться по разные стороны от $AN$. В нашем случае ($B > C$, т.е. $AC > AB$): Мы получили $\angle BAM < A/2$. Мы получили $\angle BAH > A/2$. Таким образом, $\angle BAM < \angle BAN < \angle BAH$. Это означает, что при измерении углов от луча $AB$, луч $AM$ находится с одной стороны от $AN$, а луч $AH$ - с другой, при этом $AN$ находится между ними. То есть, биссектриса $AN$ лежит между медианой $AM$ и высотой $AH$. (Если бы мы рассмотрели случай $C > B$, то симметрично получили бы $\angle CAH < \angle CAN < \angle CAM$, что также подтверждает, что $AN$ лежит между $AH$ и $AM$, только порядок лучей был бы инвертирован относительно $AC$).

Ответ: доказано.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Начертите три произвольных треугольника и в каждый из них впишите окружность. Измерьте радиусы этих окружностей и длины сторон треугольников. Какую зависимость между площадью треугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности вы можете установить?

Дано

Три произвольных треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Необходимо установить зависимость между площадью треугольника ($S$), его периметром ($P$) и радиусом вписанной окружности ($r$).

Перевод в СИ:

Данные не представлены в числовом виде, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Предполагается использование стандартных единиц длины (например, метры) для сторон и радиусов, и производных единиц площади (например, квадратные метры).

Найти:

Зависимость между $S$, $P$, $r$.

Решение

Для установления зависимости между площадью треугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности, необходимо рассмотреть геометрические свойства треугольника с вписанной окружностью. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной треугольника, перпендикулярен этой стороне.

Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами $A$, $B$, $C$ и длинами сторон $a$, $b$, $c$ (сторона $a$ противолежит вершине $A$, $b$ – $B$, $c$ – $C$). Пусть $O$ – центр вписанной окружности, а $r$ – ее радиус. Соединим центр $O$ с каждой из вершин треугольника $A$, $B$, $C$. Это действие разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $AOB$, $BOC$ и $COA$.

Высота каждого из этих трех меньших треугольников, опущенная из центра $O$ на соответствующую сторону (например, из $O$ на $AB$), равна радиусу вписанной окружности $r$, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Площадь всего треугольника $ABC$ ($S$) равна сумме площадей этих трех треугольников:

$S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

Используя формулу площади треугольника как половину произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$), мы можем записать площади каждого из малых треугольников:

Площадь треугольника $AOB$: $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Площадь треугольника $BOC$: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

Площадь треугольника $COA$: $S_{COA} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot r = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Теперь сложим эти площади, чтобы получить общую площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$

Периметр треугольника $P$ определяется как сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Подставив определение периметра в полученную формулу для площади, получаем искомую зависимость:

$S = \frac{1}{2}Pr$

Эту же зависимость можно выразить через полупериметр $p$, который равен половине периметра ($p = \frac{P}{2}$):

$S = pr$

Таким образом, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Выполнение практического задания по черчению и измерению различных треугольников и их вписанных окружностей позволило бы эмпирически подтвердить эту математическую зависимость.

Ответ:

Зависимость между площадью треугольника ($S$), его периметром ($P$) и радиусом вписанной окружности ($r$) выражается формулой $S = \frac{1}{2}Pr$ или, что то же самое, $S = pr$, где $p$ – полупериметр треугольника.