Страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

288. В $ΔABC$ $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $AN$ – высота, $M$ – середина стороны $AB$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$.

Дано:

Треугольник $ABC$, со сторонами: $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

$AN$ — высота треугольника $ABC$.

$M$ — середина стороны $AB$.

Перевод в СИ:

$AB = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$BC = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$AC = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$, $R_{AMN}$.

Решение:

1. Для начала найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}$.

Площадь $S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$.

$S_{ABC} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2$.

2. Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, найдем длину высоты $AN$. Высота $AN$ проведена к стороне $BC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AN$.

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AN$.

$84 = 7 \cdot AN$.

$AN = \frac{84}{7} = 12 \text{ см}$.

3. Определим положение точки $N$ на стороне $BC$. Поскольку $AN$ — высота, $\angle ANB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ANB$ является прямоугольным треугольником.

По теореме Пифагора в $\triangle ANB$: $BN^2 = AB^2 - AN^2$.

$BN^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.

$BN = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Проверим, лежит ли точка $N$ на отрезке $BC$: $NC = BC - BN = 14 - 5 = 9 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $ANC$: $AC^2 = AN^2 + NC^2$.

$15^2 = 12^2 + 9^2 \implies 225 = 144 + 81 \implies 225 = 225$. Это подтверждает, что точка $N$ лежит на отрезке $BC$.

4. Рассмотрим треугольник $AMN$. Нам известны:

$AN = 12 \text{ см}$.

$M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ см}$.

Так как $\triangle ANB$ является прямоугольным треугольником ($\angle ANB = 90^\circ$), а $M$ — середина гипотенузы $AB$, то медиана $MN$, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

$MN = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ см}$.

Таким образом, стороны треугольника $AMN$ равны: $AM = 6.5 \text{ см}$, $AN = 12 \text{ см}$, $MN = 6.5 \text{ см}$.

Заметим, что $AM = MN$, следовательно, $\triangle AMN$ — равнобедренный.

5. Найдем площадь треугольника $AMN$. Треугольники $AMN$ и $ANB$ имеют общую высоту из вершины $N$ на прямую $AB$. Так как $AM = \frac{1}{2}AB$, то площадь $\triangle AMN$ составляет половину площади $\triangle ANB$.

Площадь $\triangle ANB = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$.

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot S_{ANB} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \text{ см}^2$.

6. Найдем радиус описанной окружности $R_{AMN}$ для $\triangle AMN$ по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

$R_{AMN} = \frac{AM \cdot AN \cdot MN}{4 \cdot S_{AMN}}$.

$R_{AMN} = \frac{6.5 \cdot 12 \cdot 6.5}{4 \cdot 15}$.

$R_{AMN} = \frac{\frac{13}{2} \cdot 12 \cdot \frac{13}{2}}{60}$.

$R_{AMN} = \frac{\frac{13 \cdot 12 \cdot 13}{4}}{60}$.

$R_{AMN} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 60}$.

$R_{AMN} = \frac{13 \cdot 13}{4 \cdot 5} = \frac{169}{20}$.

$R_{AMN} = 8.45 \text{ см}$.

Ответ:

Радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$, составляет $8.45$ см.

289. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см, если длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла, равна $\frac{60\sqrt{2}}{17}$ см.

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза $c = 13 \text{ см}$

Длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла $l_C = \frac{60\sqrt{2}}{17} \text{ см}$

Перевод в СИ:

$c = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$l_C = \frac{60\sqrt{2}}{17} \text{ см} = \frac{60\sqrt{2}}{1700} \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной окружности $r$.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$. По теореме Пифагора имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставляя значение гипотенузы, получаем:

$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$

2. Формула для длины биссектрисы $l_C$, проведенной из вершины прямого угла (C = 90°) в прямоугольном треугольнике, равна:

$l_C = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$

Нам дано значение $l_C$:

$\frac{ab\sqrt{2}}{a+b} = \frac{60\sqrt{2}}{17}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{2}$, получаем:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{60}{17}$

Отсюда $17ab = 60(a+b)$.

3. Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Мы знаем, что $a^2+b^2 = 169$. Подставим это значение:

$(a+b)^2 = 169 + 2ab$

4. Пусть $X = a+b$. Тогда из равенства $17ab = 60(a+b)$ следует, что $ab = \frac{60X}{17}$.

Подставим выражение для $ab$ в уравнение из пункта 3:

$X^2 = 169 + 2 \left(\frac{60X}{17}\right)$

$X^2 = 169 + \frac{120X}{17}$

5. Умножим все члены уравнения на 17, чтобы избавиться от знаменателя:

$17X^2 = 17 \cdot 169 + 120X$

$17X^2 - 120X - 2873 = 0$

6. Решим это квадратное уравнение относительно $X$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $X = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$.

Здесь $A=17$, $B=-120$, $C=-2873$.

Дискриминант $D = (-120)^2 - 4(17)(-2873) = 14400 + 195364 = 209764$.

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{209764} = 458$.

7. Найдем значения $X$:

$X = \frac{120 \pm 458}{2 \cdot 17} = \frac{120 \pm 458}{34}$

Так как $X = a+b$ (сумма длин сторон), $X$ должно быть положительным. Берем положительный корень:

$X = \frac{120 + 458}{34} = \frac{578}{34} = 17$

Таким образом, сумма катетов $a+b = 17 \text{ см}$.

8. Радиус $r$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Подставим известные значения $a+b=17 \text{ см}$ и $c=13 \text{ см}$:

$r = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ:

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен $2 \text{ см}$.

290.

a) Площадь прямоугольника равна $9\sqrt{3}$ см$^{2}$, а угол между диагоналями – $120^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

б) Диагональ прямоугольника равна $7,5$ см, а угол между диагоналями равен $48^\circ$. Найдите периметр прямоугольника.

a)

Дано:

Площадь прямоугольника $S = 9\sqrt{3}$ см$^2$

Угол между диагоналями $\alpha = 120^\circ$

Перевод в СИ: Не требуется, так как единицы измерения являются подходящими для данной задачи.

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$

Решение:

Площадь произвольного четырехугольника через его диагонали $d_1, d_2$ и угол $\theta$ между ними выражается формулой $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta$. Для прямоугольника диагонали равны ($d_1 = d_2 = d$). Таким образом, площадь прямоугольника $S = \frac{1}{2} d^2 \sin \theta$, где $\theta$ - острый угол между диагоналями.

Если один угол между диагоналями равен $120^\circ$, то острый угол $\theta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} d^2$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$9 = \frac{1}{4} d^2$

$d^2 = 36$

$d = 6$ см

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, половина диагонали равна $d/2 = 6/2 = 3$ см.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника, образованных половинками диагоналей и сторонами прямоугольника. Углы при вершине этих треугольников (то есть углы между диагоналями) равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Пусть сторона $a$ лежит напротив угла $120^\circ$. Используем теорему косинусов для нахождения $a$:

$a^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2)\cos(120^\circ)$

$a^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 9 + 9 - (-9)$

$a^2 = 18 + 9 = 27$

$a = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см

Пусть сторона $b$ лежит напротив угла $60^\circ$. Используем теорему косинусов для нахождения $b$:

$b^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2)\cos(60^\circ)$

$b^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (\frac{1}{2})$

$b^2 = 9 + 9 - 9$

$b^2 = 9$

$b = \sqrt{9} = 3$ см

Ответ: Стороны прямоугольника равны $3\sqrt{3}$ см и $3$ см.

б)

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 7.5$ см

Угол между диагоналями $\theta = 48^\circ$

Перевод в СИ: Не требуется, так как единицы измерения являются подходящими для данной задачи.

Найти:

Периметр прямоугольника $P$}

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. Диагональ $d$ образует с ними прямой угол, формируя прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и одной из сторон (например, стороной $a$) обозначим $\phi$. Тогда стороны прямоугольника можно выразить через диагональ и этот угол: $a = d \cos \phi$ и $b = d \sin \phi$.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, образуя два равнобедренных треугольника. Угол между диагоналями равен $48^\circ$. Это острый угол. Соответственно, тупой угол между диагоналями равен $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и стороной $a$ (которая является большей стороной). Угол при вершине этого треугольника равен $132^\circ$. Углы при основании (которые являются углами между диагональю и большей стороной $a$) равны $\frac{180^\circ - 132^\circ}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$. Этот угол и есть $\phi$.

Следовательно, $\phi = 24^\circ$.

Теперь мы можем найти стороны $a$ и $b$:

$a = d \cos \phi = 7.5 \cos(24^\circ)$

$b = d \sin \phi = 7.5 \sin(24^\circ)$

Используем приближенные значения для тригонометрических функций:

$\cos(24^\circ) \approx 0.913545$

$\sin(24^\circ) \approx 0.406737$

$a \approx 7.5 \cdot 0.913545 \approx 6.8516$ см

$b \approx 7.5 \cdot 0.406737 \approx 3.0505$ см

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

$P = 2(7.5 \cos(24^\circ) + 7.5 \sin(24^\circ))$

$P = 15(\cos(24^\circ) + \sin(24^\circ))$

$P \approx 15(0.913545 + 0.406737)$

$P \approx 15(1.320282)$

$P \approx 19.80423$ см

Округлим результат до двух знаков после запятой:

$P \approx 19.80$ см

Ответ: Периметр прямоугольника равен примерно $19.80$ см.

291. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведены его высота и медиана, равные соответственно 12 см и 15 см. Найдите стороны и острые углы этого треугольника.

Дано:

Высота, проведенная из вершины прямого угла $h_c = 12 \text{ см}$

Медиана, проведенная из вершины прямого угла $m_c = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$h_c = 0.12 \text{ м}$

$m_c = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Стороны треугольника $a, b, c$

Острые углы треугольника $\alpha, \beta$

Решение:

1. Находим длину гипотенузы $c$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если $m_c$ - медиана, а $c$ - гипотенуза, то:

$m_c = \frac{c}{2}$

Отсюда $c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

2. Находим отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Пусть треугольник ABC - прямоугольный, с прямым углом при вершине C. Пусть CD - высота, проведенная к гипотенузе AB, и CM - медиана, проведенная к гипотенузе AB. Тогда D лежит на AB, M - середина AB.

Длина медианы CM = $m_c = 15 \text{ см}$.

Длина высоты CD = $h_c = 12 \text{ см}$.

Поскольку M - середина гипотенузы AB, то $AM = MB = \frac{c}{2} = \frac{30 \text{ см}}{2} = 15 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDM (угол D прямой, так как CD - высота). В этом треугольнике CM - гипотенуза, CD и DM - катеты.

По теореме Пифагора: $DM^2 = CM^2 - CD^2$

$DM^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$DM = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$.

Теперь найдем длины отрезков AD и DB, на которые высота CD делит гипотенузу AB. Поскольку AM = 15 см и DM = 9 см, а D находится на гипотенузе, то AD = AM - DM или AD = AM + DM. Так как DM меньше AM, точка D лежит между A и M.

$AD = AM - DM = 15 \text{ см} - 9 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

$DB = MB + DM = 15 \text{ см} + 9 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Проверим: $AD + DB = 6 + 24 = 30 \text{ см}$, что равно гипотенузе $c$.

3. Находим длины катетов $a$ и $b$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Пусть $a$ - катет BC, а $b$ - катет AC.

Для катета BC ($a$), его проекция на гипотенузу - это DB.

$a^2 = c \cdot DB = 30 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 720 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5} \text{ см}$.

Для катета AC ($b$), его проекция на гипотенузу - это AD.

$b^2 = c \cdot AD = 30 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 180 \text{ см}^2$

$b = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \text{ см}$.

4. Находим острые углы треугольника.

Острые углы треугольника можно найти, используя тригонометрические функции.

Пусть $\alpha$ - угол при вершине A, $\beta$ - угол при вершине B.

Используем отношение тангенса в прямоугольном треугольнике ABC:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

$\tan \alpha = \frac{12\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = 2$

$\alpha = \arctan(2) \approx 63.43^\circ$.

$\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$

$\tan \beta = \frac{6\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = \frac{1}{2} = 0.5$

$\beta = \arctan(0.5) \approx 26.57^\circ$.

Проверка суммы острых углов: $\alpha + \beta \approx 63.43^\circ + 26.57^\circ = 90^\circ$.

Ответ:

Стороны треугольника: $30 \text{ см}$, $12\sqrt{5} \text{ см}$, $6\sqrt{5} \text{ см}$.

Острые углы треугольника: $\arctan(2)$ и $\arctan(0.5)$ (приблизительно $63.43^\circ$ и $26.57^\circ$).

292. a) В параллелограмме $ABCD$ известны стороны $AB = 4$ см, $AD = 5$ см и диагональ $BD = 6$ см. Найдите угол $\angle CBD$ и площадь параллелограмма.

б) Найдите с точностью до $0,1 \text{ см}^2$ площадь треугольника, две медианы которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен $100^\circ$.

а)

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

$AB = 4 \text{ см}$

$AD = 5 \text{ см}$

$BD = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AB = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$AD = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$BD = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Угол $\angle CBD$, площадь параллелограмма $S_{ABCD}$.

Решение:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $BC = AD = 5 \text{ см}$ и $CD = AB = 4 \text{ см}$.

2. Рассмотрим треугольник $BCD$. Известны все его стороны: $BC = 5 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$, $BD = 6 \text{ см}$.

3. Для нахождения угла $\angle CBD$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $BCD$:

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle CBD)$

Подставим известные значения:

$4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\angle CBD)$

$16 = 25 + 36 - 60 \cdot \cos(\angle CBD)$

$16 = 61 - 60 \cdot \cos(\angle CBD)$

$60 \cdot \cos(\angle CBD) = 61 - 16$

$60 \cdot \cos(\angle CBD) = 45$

$\cos(\angle CBD) = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\angle CBD = \arccos(0.75)$

$\angle CBD \approx 41.4096^\circ \approx 41.4^\circ$

4. Для нахождения площади параллелограмма $ABCD$ найдем площадь треугольника $BCD$ и умножим ее на 2 (так как диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника). Площадь треугольника можно найти по формуле Герона или используя синус угла.

Найдем $\sin(\angle CBD)$:

$\sin(\angle CBD) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle CBD)} = \sqrt{1 - (0.75)^2} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375}$

$\sin(\angle CBD) = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Площадь треугольника $BCD$ ($S_{BCD}$):

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle CBD)$

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{BCD} = \frac{30\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{BCD} = 2 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{2} \text{ см}^2$

Вычислим приближенное значение:

$S_{ABCD} \approx \frac{15 \cdot 2.64575}{2} \approx \frac{39.68625}{2} \approx 19.843 \text{ см}^2$

Ответ: Угол $\angle CBD = \arccos(0.75) \approx 41.4^\circ$, площадь параллелограмма $S_{ABCD} = \frac{15\sqrt{7}}{2} \text{ см}^2 \approx 19.8 \text{ см}^2$.

б)

Дано:

Две медианы треугольника $m_1 = 6 \text{ см}$, $m_2 = 8 \text{ см}$.

Угол между медианами $\alpha = 100^\circ$.

Перевод в СИ:

$m_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$m_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 100^\circ$

Найти:

Площадь треугольника $S_{\triangle}$ с точностью до $0.1 \text{ см}^2$.

Решение:

Площадь треугольника, заданного двумя медианами $m_1$, $m_2$ и углом $\alpha$ между ними, можно найти по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{2}{3} m_1 m_2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$S_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot \sin(100^\circ)$

$S_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot 48 \text{ см}^2 \cdot \sin(100^\circ)$

$S_{\triangle} = 32 \text{ см}^2 \cdot \sin(100^\circ)$

Значение $\sin(100^\circ) = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin(80^\circ)$.

$\sin(80^\circ) \approx 0.9848$

$S_{\triangle} \approx 32 \cdot 0.9848 \text{ см}^2$

$S_{\triangle} \approx 31.5136 \text{ см}^2$

Округлим до $0.1 \text{ см}^2$:

$S_{\triangle} \approx 31.5 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь треугольника $\approx 31.5 \text{ см}^2$.

293. В параллелограмме $ABCD$ $\angle A = 60^\circ$, $BD = 2\sqrt{31}$ см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне $AD$, равна $2,5\sqrt{3}$ см. Найдите стороны и диагональ $AC$ параллелограмма.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$

$\angle A = 60^\circ$

$BD = 2\sqrt{31}$ см

Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей $O$ к стороне $AD$, $OH = 2.5\sqrt{3}$ см

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах. Для данной геометрической задачи нет необходимости переводить их в систему СИ (метры), так как конечные результаты также будут представлены в сантиметрах.

Найти:

Стороны параллелограмма ($AB, AD$)

Диагональ $AC$

Решение:

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$.

Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AD$. По условию, $OH = 2.5\sqrt{3}$ см.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $BO = OD$ и $AO = OC$.

Проведем высоту $BB'$ из вершины $B$ на сторону $AD$ (где $B'$ — основание перпендикуляра на $AD$). Поскольку $O$ является серединой диагонали $BD$, а $OH$ параллелен $BB'$ (оба перпендикулярны $AD$), то $OH$ является средней линией треугольника $BB'D$ (если $B'$ лежит на отрезке $AD$). Следовательно, длина перпендикуляра $OH$ равна половине длины высоты $BB'$:

$OH = \frac{1}{2} BB'$

Отсюда, $BB' = 2 \cdot OH = 2 \cdot 2.5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB'$ (где $\angle AB'B = 90^\circ$). Угол $\angle A = 60^\circ$.

Высота $BB'$ также может быть выражена через сторону $AB$ и синус угла $A$:

$BB' = AB \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения:

$5\sqrt{3} = AB \cdot \sin(60^\circ)$

$5\sqrt{3} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$5 = \frac{AB}{2}$

Отсюда, $AB = 10$ см.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $CD = AB = 10$ см.

Теперь найдем вторую сторону параллелограмма $AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Применим теорему косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения: $BD = 2\sqrt{31}$ см, $AB = 10$ см, $\angle A = 60^\circ$:

$(2\sqrt{31})^2 = 10^2 + AD^2 - 2 \cdot 10 \cdot AD \cdot \cos(60^\circ)$

$4 \cdot 31 = 100 + AD^2 - 20 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$124 = 100 + AD^2 - 10 AD$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$AD^2 - 10 AD + 100 - 124 = 0$

$AD^2 - 10 AD - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $AD$. Дискриминант $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14$.

Возможные значения для $AD$:

$AD_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см

$AD_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ см

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $AD = 12$ см.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $BC = AD = 12$ см.

Итак, стороны параллелограмма: $AB = 10$ см и $AD = 12$ см.

Теперь найдем длину диагонали $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Стороны треугольника $ABC$ известны: $AB = 10$ см и $BC = 12$ см.

Применим теорему косинусов для нахождения $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$AC^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$AC^2 = 244 + 120$

$AC^2 = 364$

Для нахождения $AC$ извлечем квадратный корень:

$AC = \sqrt{364}$

Разложим число $364$ на множители: $364 = 4 \cdot 91$.

$AC = \sqrt{4 \cdot 91} = 2\sqrt{91}$ см.

Ответ:

Стороны параллелограмма: $10$ см и $12$ см. Диагональ $AC = 2\sqrt{91}$ см.

294. Внутри угла, равного $60^\circ$, дана точка, расстояния от которой до сторон угла равны 2 см и 5 см. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла.

Дано:

Угол $A = 60^\circ$.
Расстояние от точки $P$ до одной стороны угла $h_1 = 2 \text{ см}$.
Расстояние от точки $P$ до другой стороны угла $h_2 = 5 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
Угол $A = 60^\circ$ (или $A = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}$).

Найти:

Расстояние от точки $P$ до вершины угла $AP$.

Решение:

Пусть вершина угла обозначена как $A$. Обозначим стороны угла как $AX$ и $AY$. Пусть $P$ - данная точка внутри угла. Проведем перпендикуляры из точки $P$ к сторонам угла: $PM_1 \perp AX$ и $PM_2 \perp AY$. По условию, длины этих перпендикуляров являются расстояниями до сторон угла, то есть $PM_1 = h_1 = 2 \text{ см}$ и $PM_2 = h_2 = 5 \text{ см}$. Нам необходимо найти расстояние от точки $P$ до вершины угла $AP$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle APM_1$ и $\triangle APM_2$. Гипотенуза $AP$ является общей для обоих треугольников. Пусть $\angle PAX = \alpha$. Так как весь угол $A$ равен $60^\circ$, то $\angle PAY = A - \alpha = 60^\circ - \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle APM_1$ (с прямым углом при $M_1$): $PM_1 = AP \sin(\angle PAX)$
$h_1 = AP \sin(\alpha)$ (1)

Из прямоугольного треугольника $\triangle APM_2$ (с прямым углом при $M_2$): $PM_2 = AP \sin(\angle PAY)$
$h_2 = AP \sin(A - \alpha)$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{h_2}{h_1} = \frac{AP \sin(A - \alpha)}{AP \sin(\alpha)}$
$\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sin(A - \alpha)}{\sin(\alpha)}$

Воспользуемся формулой синуса разности углов: $\sin(A - \alpha) = \sin(A)\cos(\alpha) - \cos(A)\sin(\alpha)$. Подставим это в уравнение: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sin(A)\cos(\alpha) - \cos(A)\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
Разделим числитель на $\sin(\alpha)$: $\frac{h_2}{h_1} = \sin(A)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \cos(A)\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
$\frac{h_2}{h_1} = \sin(A)\cot(\alpha) - \cos(A)$

Выразим $\cot(\alpha)$: $\sin(A)\cot(\alpha) = \frac{h_2}{h_1} + \cos(A)$
$\cot(\alpha) = \frac{1}{\sin(A)}\left(\frac{h_2}{h_1} + \cos(A)\right)$
$\cot(\alpha) = \frac{h_2 + h_1\cos(A)}{h_1\sin(A)}$

Подставим численные значения: $h_1 = 2 \text{ см}$, $h_2 = 5 \text{ см}$, $A = 60^\circ$. Значения тригонометрических функций для $60^\circ$: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $\cot(\alpha) = \frac{5 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\cot(\alpha) = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Теперь найдем $\sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$: $\frac{1}{\sin^2(\alpha)} = 1 + (2\sqrt{3})^2 = 1 + (4 \cdot 3) = 1 + 12 = 13$
$\sin^2(\alpha) = \frac{1}{13}$
Поскольку $\alpha$ является острым углом (частью угла в $60^\circ$), $\sin(\alpha)$ будет положительным: $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе: $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Теперь найдем $AP$ из уравнения (1): $AP = \frac{h_1}{\sin(\alpha)}$
$AP = \frac{2 \text{ см}}{\frac{\sqrt{13}}{13}} = \frac{2 \cdot 13}{\sqrt{13}} \text{ см} = \frac{26}{\sqrt{13}} \text{ см}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе: $AP = \frac{26\sqrt{13}}{13} \text{ см} = 2\sqrt{13} \text{ см}$.

Переведем результат в систему СИ: $AP = 2\sqrt{13} \text{ см} = 2\sqrt{13} \cdot 0.01 \text{ м} = 0.02\sqrt{13} \text{ м}$.

Ответ:

Расстояние от точки до вершины угла равно $2\sqrt{13} \text{ см}$ (приблизительно $7.21 \text{ см}$), или $0.02\sqrt{13} \text{ м}$ (приблизительно $0.0721 \text{ м}$).

295. В треугольнике $ABC$ известны сумма сторон $BC$ и $AC$ и углы $A$ и $B$. Можно ли по этим данным найти стороны треугольника? Ответ объясните.

Дано:

В треугольнике $ABC$ известны:
Сумма сторон $BC$ и $AC$: $BC + AC = S$ (где $S$ — известная сумма)
Угол $A$: $\angle A = \alpha$
Угол $B$: $\angle B = \beta$

Найти:

Стороны треугольника $ABC$: $BC$, $AC$, $AB$.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = \gamma = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.
Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ известны, угол $\gamma$ также может быть определен.

2. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$. Пусть $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.
Согласно теореме синусов:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

3. Выразим стороны $a$ и $b$ через сторону $c$ и известные углы:
Из $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$ следует $a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma}$.
Из $\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ следует $b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma}$.

4. Подставим эти выражения в известное условие $a + b = S$:
$\frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} + \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = S$
Вынесем $c$ за скобки:
$c \left( \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \gamma} \right) = S$

5. Из полученного уравнения выразим сторону $c$ ($AB$):
$c = S \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha + \sin \beta}$
Так как $S$ (известная сумма), $\alpha$ и $\beta$ (известные углы) заданы, а $\gamma$ (третий угол) может быть вычислен из $\alpha$ и $\beta$, то значение $c$ может быть однозначно определено.

6. После того как сторона $c$ найдена, мы можем найти стороны $a$ ($BC$) и $b$ ($AC$):
$a = c \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$
$b = c \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}$
Поскольку значения $c$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ известны, значения сторон $a$ и $b$ также могут быть однозначно определены.

Таким образом, по заданным данным можно найти все стороны треугольника.

Ответ:

Да, по этим данным можно найти стороны треугольника.