Номер 292, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

292. a) В параллелограмме $ABCD$ известны стороны $AB = 4$ см, $AD = 5$ см и диагональ $BD = 6$ см. Найдите угол $\angle CBD$ и площадь параллелограмма.

б) Найдите с точностью до $0,1 \text{ см}^2$ площадь треугольника, две медианы которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен $100^\circ$.

а)

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

$AB = 4 \text{ см}$

$AD = 5 \text{ см}$

$BD = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AB = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$AD = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$BD = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Угол $\angle CBD$, площадь параллелограмма $S_{ABCD}$.

Решение:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $BC = AD = 5 \text{ см}$ и $CD = AB = 4 \text{ см}$.

2. Рассмотрим треугольник $BCD$. Известны все его стороны: $BC = 5 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$, $BD = 6 \text{ см}$.

3. Для нахождения угла $\angle CBD$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $BCD$:

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle CBD)$

Подставим известные значения:

$4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\angle CBD)$

$16 = 25 + 36 - 60 \cdot \cos(\angle CBD)$

$16 = 61 - 60 \cdot \cos(\angle CBD)$

$60 \cdot \cos(\angle CBD) = 61 - 16$

$60 \cdot \cos(\angle CBD) = 45$

$\cos(\angle CBD) = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\angle CBD = \arccos(0.75)$

$\angle CBD \approx 41.4096^\circ \approx 41.4^\circ$

4. Для нахождения площади параллелограмма $ABCD$ найдем площадь треугольника $BCD$ и умножим ее на 2 (так как диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника). Площадь треугольника можно найти по формуле Герона или используя синус угла.

Найдем $\sin(\angle CBD)$:

$\sin(\angle CBD) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle CBD)} = \sqrt{1 - (0.75)^2} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375}$

$\sin(\angle CBD) = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Площадь треугольника $BCD$ ($S_{BCD}$):

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle CBD)$

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{BCD} = \frac{30\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{BCD} = 2 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{2} \text{ см}^2$

Вычислим приближенное значение:

$S_{ABCD} \approx \frac{15 \cdot 2.64575}{2} \approx \frac{39.68625}{2} \approx 19.843 \text{ см}^2$

Ответ: Угол $\angle CBD = \arccos(0.75) \approx 41.4^\circ$, площадь параллелограмма $S_{ABCD} = \frac{15\sqrt{7}}{2} \text{ см}^2 \approx 19.8 \text{ см}^2$.

б)

Дано:

Две медианы треугольника $m_1 = 6 \text{ см}$, $m_2 = 8 \text{ см}$.

Угол между медианами $\alpha = 100^\circ$.

Перевод в СИ:

$m_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$m_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 100^\circ$

Найти:

Площадь треугольника $S_{\triangle}$ с точностью до $0.1 \text{ см}^2$.

Решение:

Площадь треугольника, заданного двумя медианами $m_1$, $m_2$ и углом $\alpha$ между ними, можно найти по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{2}{3} m_1 m_2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$S_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot \sin(100^\circ)$

$S_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot 48 \text{ см}^2 \cdot \sin(100^\circ)$

$S_{\triangle} = 32 \text{ см}^2 \cdot \sin(100^\circ)$

Значение $\sin(100^\circ) = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin(80^\circ)$.

$\sin(80^\circ) \approx 0.9848$

$S_{\triangle} \approx 32 \cdot 0.9848 \text{ см}^2$

$S_{\triangle} \approx 31.5136 \text{ см}^2$

Округлим до $0.1 \text{ см}^2$:

$S_{\triangle} \approx 31.5 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь треугольника $\approx 31.5 \text{ см}^2$.