Номер 293, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

293. В параллелограмме $ABCD$ $\angle A = 60^\circ$, $BD = 2\sqrt{31}$ см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне $AD$, равна $2,5\sqrt{3}$ см. Найдите стороны и диагональ $AC$ параллелограмма.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$

$\angle A = 60^\circ$

$BD = 2\sqrt{31}$ см

Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей $O$ к стороне $AD$, $OH = 2.5\sqrt{3}$ см

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах. Для данной геометрической задачи нет необходимости переводить их в систему СИ (метры), так как конечные результаты также будут представлены в сантиметрах.

Найти:

Стороны параллелограмма ($AB, AD$)

Диагональ $AC$

Решение:

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$.

Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AD$. По условию, $OH = 2.5\sqrt{3}$ см.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $BO = OD$ и $AO = OC$.

Проведем высоту $BB'$ из вершины $B$ на сторону $AD$ (где $B'$ — основание перпендикуляра на $AD$). Поскольку $O$ является серединой диагонали $BD$, а $OH$ параллелен $BB'$ (оба перпендикулярны $AD$), то $OH$ является средней линией треугольника $BB'D$ (если $B'$ лежит на отрезке $AD$). Следовательно, длина перпендикуляра $OH$ равна половине длины высоты $BB'$:

$OH = \frac{1}{2} BB'$

Отсюда, $BB' = 2 \cdot OH = 2 \cdot 2.5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB'$ (где $\angle AB'B = 90^\circ$). Угол $\angle A = 60^\circ$.

Высота $BB'$ также может быть выражена через сторону $AB$ и синус угла $A$:

$BB' = AB \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения:

$5\sqrt{3} = AB \cdot \sin(60^\circ)$

$5\sqrt{3} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$5 = \frac{AB}{2}$

Отсюда, $AB = 10$ см.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $CD = AB = 10$ см.

Теперь найдем вторую сторону параллелограмма $AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Применим теорему косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения: $BD = 2\sqrt{31}$ см, $AB = 10$ см, $\angle A = 60^\circ$:

$(2\sqrt{31})^2 = 10^2 + AD^2 - 2 \cdot 10 \cdot AD \cdot \cos(60^\circ)$

$4 \cdot 31 = 100 + AD^2 - 20 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$124 = 100 + AD^2 - 10 AD$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$AD^2 - 10 AD + 100 - 124 = 0$

$AD^2 - 10 AD - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $AD$. Дискриминант $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14$.

Возможные значения для $AD$:

$AD_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см

$AD_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ см

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $AD = 12$ см.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $BC = AD = 12$ см.

Итак, стороны параллелограмма: $AB = 10$ см и $AD = 12$ см.

Теперь найдем длину диагонали $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Стороны треугольника $ABC$ известны: $AB = 10$ см и $BC = 12$ см.

Применим теорему косинусов для нахождения $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$AC^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$AC^2 = 244 + 120$

$AC^2 = 364$

Для нахождения $AC$ извлечем квадратный корень:

$AC = \sqrt{364}$

Разложим число $364$ на множители: $364 = 4 \cdot 91$.

$AC = \sqrt{4 \cdot 91} = 2\sqrt{91}$ см.

Ответ:

Стороны параллелограмма: $10$ см и $12$ см. Диагональ $AC = 2\sqrt{91}$ см.