Номер 290, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

290.

a) Площадь прямоугольника равна $9\sqrt{3}$ см$^{2}$, а угол между диагоналями – $120^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

б) Диагональ прямоугольника равна $7,5$ см, а угол между диагоналями равен $48^\circ$. Найдите периметр прямоугольника.

a)

Дано:

Площадь прямоугольника $S = 9\sqrt{3}$ см$^2$

Угол между диагоналями $\alpha = 120^\circ$

Перевод в СИ: Не требуется, так как единицы измерения являются подходящими для данной задачи.

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$

Решение:

Площадь произвольного четырехугольника через его диагонали $d_1, d_2$ и угол $\theta$ между ними выражается формулой $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta$. Для прямоугольника диагонали равны ($d_1 = d_2 = d$). Таким образом, площадь прямоугольника $S = \frac{1}{2} d^2 \sin \theta$, где $\theta$ - острый угол между диагоналями.

Если один угол между диагоналями равен $120^\circ$, то острый угол $\theta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} d^2$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$9 = \frac{1}{4} d^2$

$d^2 = 36$

$d = 6$ см

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, половина диагонали равна $d/2 = 6/2 = 3$ см.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника, образованных половинками диагоналей и сторонами прямоугольника. Углы при вершине этих треугольников (то есть углы между диагоналями) равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Пусть сторона $a$ лежит напротив угла $120^\circ$. Используем теорему косинусов для нахождения $a$:

$a^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2)\cos(120^\circ)$

$a^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 9 + 9 - (-9)$

$a^2 = 18 + 9 = 27$

$a = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см

Пусть сторона $b$ лежит напротив угла $60^\circ$. Используем теорему косинусов для нахождения $b$:

$b^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2)\cos(60^\circ)$

$b^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (\frac{1}{2})$

$b^2 = 9 + 9 - 9$

$b^2 = 9$

$b = \sqrt{9} = 3$ см

Ответ: Стороны прямоугольника равны $3\sqrt{3}$ см и $3$ см.

б)

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 7.5$ см

Угол между диагоналями $\theta = 48^\circ$

Перевод в СИ: Не требуется, так как единицы измерения являются подходящими для данной задачи.

Найти:

Периметр прямоугольника $P$}

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. Диагональ $d$ образует с ними прямой угол, формируя прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и одной из сторон (например, стороной $a$) обозначим $\phi$. Тогда стороны прямоугольника можно выразить через диагональ и этот угол: $a = d \cos \phi$ и $b = d \sin \phi$.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, образуя два равнобедренных треугольника. Угол между диагоналями равен $48^\circ$. Это острый угол. Соответственно, тупой угол между диагоналями равен $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и стороной $a$ (которая является большей стороной). Угол при вершине этого треугольника равен $132^\circ$. Углы при основании (которые являются углами между диагональю и большей стороной $a$) равны $\frac{180^\circ - 132^\circ}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$. Этот угол и есть $\phi$.

Следовательно, $\phi = 24^\circ$.

Теперь мы можем найти стороны $a$ и $b$:

$a = d \cos \phi = 7.5 \cos(24^\circ)$

$b = d \sin \phi = 7.5 \sin(24^\circ)$

Используем приближенные значения для тригонометрических функций:

$\cos(24^\circ) \approx 0.913545$

$\sin(24^\circ) \approx 0.406737$

$a \approx 7.5 \cdot 0.913545 \approx 6.8516$ см

$b \approx 7.5 \cdot 0.406737 \approx 3.0505$ см

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

$P = 2(7.5 \cos(24^\circ) + 7.5 \sin(24^\circ))$

$P = 15(\cos(24^\circ) + \sin(24^\circ))$

$P \approx 15(0.913545 + 0.406737)$

$P \approx 15(1.320282)$

$P \approx 19.80423$ см

Округлим результат до двух знаков после запятой:

$P \approx 19.80$ см

Ответ: Периметр прямоугольника равен примерно $19.80$ см.