Номер 283, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

283. a) В равнобедренном $\triangle ABC$ основание $AB = 18$ см, $AC = 15$ см. Найдите радиус окружности: 1) вписанной в $\triangle ABC$;

2) описанной около $\triangle ABC$.

б) В треугольнике известны две стороны (6 см, 8 см) и угол между ними ($60^\circ$). Найдите с точностью до 0,1 см радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано:

Равнобедренный $\triangle ABC$
Основание $AB = 18$ см
Боковая сторона $AC = BC = 15$ см

Перевод в СИ:

$AB = 0.18$ м
$AC = BC = 0.15$ м

Найти:

1) Радиус вписанной окружности $r_{вписанной}$
2) Радиус описанной окружности $R_{описанной}$

Решение:

Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей, нам потребуется высота треугольника и его площадь.

Пусть $CH$ - высота, опущенная из вершины $C$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $AH = HB = AB / 2 = 18 / 2 = 9$ см.
Применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $AHC$ (где $AC$ - гипотенуза):
$CH^2 = AC^2 - AH^2$
$CH^2 = 15^2 - 9^2$
$CH^2 = 225 - 81$
$CH^2 = 144$
$CH = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника $S$ может быть найдена по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108$ см$^2$.

1) вписанной в $\triangle ABC$

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле: $r = S/p$, где $p$ - полупериметр треугольника.
Периметр $P = AB + AC + BC = 18 + 15 + 15 = 48$ см.
Полупериметр $p = P/2 = 48/2 = 24$ см.
$r = \frac{108}{24} = 4.5$ см.

Ответ: $4.5$ см

2) описанной около $\triangle ABC$

Радиус описанной окружности $R$ находится по формуле: $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $a, b, c$ - длины сторон треугольника.
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S}$
$R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 18}{4 \cdot 108}$
$R = \frac{4050}{432}$
$R = \frac{75}{8} = 9.375$ см.

Ответ: $9.375$ см

Дано:

Треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 8$ см и углом между ними $\gamma = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 0.06$ м
$b = 0.08$ м
$\gamma = 60^\circ$

Найти:

Радиус вписанной окружности $r_{вписанной}$ с точностью до $0.1$ см.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной окружности, нам необходимы все стороны треугольника и его площадь. Обозначим стороны как $a=6$ см, $b=8$ см, и угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = 0.5$:
$c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot 0.5$
$c^2 = 100 - 48$
$c^2 = 52$
$c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Площадь треугольника $S$ может быть найдена по формуле: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$.
Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:
$p = \frac{6 + 8 + 2\sqrt{13}}{2} = \frac{14 + 2\sqrt{13}}{2} = 7 + \sqrt{13}$ см.

Радиус вписанной окружности $r = S/p$:
$r = \frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{13}}$

Теперь вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{13} \approx 3.606$:
$r \approx \frac{12 \cdot 1.732}{7 + 3.606}$
$r \approx \frac{20.784}{10.606}$
$r \approx 1.9597...$ см.

Округляем результат до $0.1$ см:
$r \approx 2.0$ см.

Ответ: $2.0$ см