Номер 280, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

280. Одна из сторон треугольника равна $b$, а угол, лежащий против нее, равен $\beta$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если:
а) $b = 8$ см, $\beta = 135^\circ$;
б) $b = 4\sqrt{3}$ дм, $\beta = 120^\circ$.

Дано

Одна из сторон треугольника $b$, угол, лежащий против нее, $\beta$.

Перевод в СИ

а) $b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

б) $b = 4\sqrt{3} \text{ дм} = 0.4\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной окружности $R$.

Решение

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, используем теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

То есть, $ \frac{b}{\sin \beta} = 2R $. Отсюда, радиус $ R = \frac{b}{2 \sin \beta} $.

а) $b = 8 \text{ см}, \beta = 135^\circ$

Используем формулу $ R = \frac{b}{2 \sin \beta} $.

Подставляем значения:

$ \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ R = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} $

$ R = \frac{8}{\sqrt{2}} $

Избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ R = \frac{8\sqrt{2}}{2} $

$ R = 4\sqrt{2} \text{ см} $

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}$

б) $b = 4\sqrt{3} \text{ дм}, \beta = 120^\circ$

Используем формулу $ R = \frac{b}{2 \sin \beta} $.

Подставляем значения:

$ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ R = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $

$ R = 4 \text{ дм} $

Ответ: $4 \text{ дм}$