Номер 276, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

276. a) Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ см и $12$ см. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.
б) Найдите длину биссектрисы $CD$ треугольника $ABC$, если $AC = 7$ см, $CB = 9$ см и $AD = CD$.

a) Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 12 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$, с прямым углом при вершине $C$.

Катеты: $AC = 6$ см, $BC = 12$ см.

$CL$ - биссектриса угла $C$.

Перевод в СИ:

$AC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$BC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы $CL$.

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$. Длины катетов $AC = 6$ см и $BC = 12$ см. $CL$ - биссектриса угла $C$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ с помощью теоремы Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$

$AB = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

2. По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса $CL$ делит противоположную сторону $AB$ на отрезки $AL$ и $LB$, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Пусть $AL = x$, тогда $LB = 2x$. Сумма этих отрезков равна длине гипотенузы $AB$:

$AL + LB = AB \Rightarrow x + 2x = 6\sqrt{5}$

$3x = 6\sqrt{5} \Rightarrow x = 2\sqrt{5}$ см.

Таким образом, $AL = 2\sqrt{5}$ см и $LB = 4\sqrt{5}$ см.

3. Воспользуемся формулой для длины биссектрисы, проведенной из вершины угла $C$: $l_c^2 = ab - AL \cdot LB$. Здесь $a = BC$, $b = AC$.

$CL^2 = AC \cdot BC - AL \cdot LB$

$CL^2 = 6 \cdot 12 - (2\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5})$

$CL^2 = 72 - (8 \cdot 5)$

$CL^2 = 72 - 40$

$CL^2 = 32$

$CL = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

б) Найдите длину биссектрисы CD треугольника ABC, если AC = 7 см, CB = 9 см и AD = CD.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$CD$ - биссектриса угла $C$.

$AC = 7$ см.

$CB = 9$ см.

$AD = CD$.

Перевод в СИ:

$AC = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$CB = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы $CD$.

Решение:

Пусть $CD = x$. По условию задачи $AD = CD$, следовательно $AD = x$.

1. Применим свойство биссектрисы угла треугольника к биссектрисе $CD$ в $\triangle ABC$. Биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $CB$:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$

Подставим известные значения:

$\frac{x}{DB} = \frac{7}{9}$

Выразим $DB$ через $x$:

$DB = \frac{9x}{7}$

2. Воспользуемся формулой для длины биссектрисы $l_c$ из вершины $C$ на сторону $AB$:

$l_c^2 = AC \cdot CB - AD \cdot DB$

Подставим $l_c = CD = x$, $AD = x$, $AC = 7$, $CB = 9$, $DB = \frac{9x}{7}$:

$x^2 = 7 \cdot 9 - x \cdot \frac{9x}{7}$

$x^2 = 63 - \frac{9x^2}{7}$

3. Решим полученное уравнение относительно $x$. Умножим все члены на 7, чтобы избавиться от дроби:

$7x^2 = 63 \cdot 7 - 9x^2$

$7x^2 = 441 - 9x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:

$7x^2 + 9x^2 = 441$

$16x^2 = 441$

$x^2 = \frac{441}{16}$

$x = \sqrt{\frac{441}{16}}$

$x = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{16}} = \frac{21}{4}$

Таким образом, длина биссектрисы $CD$ равна $\frac{21}{4}$ см.

Ответ: $\frac{21}{4}$ см.