Номер 278, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

278. Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$ и $B$, и их общая касательная $MN$, где $M$ и $N$ – точки касания. Докажите, что прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

Дано:

Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$ и $B$.

Общая касательная этих окружностей $MN$, где $M$ – точка касания с первой окружностью, а $N$ – точка касания со второй окружностью.

Найти:

Доказать, что прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

Решение:

Пусть прямая $AB$, которая является общей хордой двух окружностей, пересекает общую касательную $MN$ в точке $P$. Наша задача – доказать, что точка $P$ является серединой отрезка $MN$, то есть $PM = PN$.

Рассмотрим первую окружность. Точка $P$ находится вне этой окружности. Отрезок $PM$ является касательной к этой окружности, проведенной из точки $P$. Прямая $PB$ является секущей к этой же окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Согласно теореме о касательной и секущей (или свойству степени точки относительно окружности), квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью.

Таким образом, для первой окружности имеем:

$PM^2 = PA \cdot PB$

Теперь рассмотрим вторую окружность. Точка $P$ также находится вне этой окружности. Отрезок $PN$ является касательной ко второй окружности, проведенной из точки $P$. Прямая $PA$ (или $PB$) является секущей ко второй окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Применяя ту же теорему о касательной и секущей для второй окружности, получаем:

$PN^2 = PA \cdot PB$

Сравнивая полученные два равенства, мы видим, что их правые части абсолютно одинаковы:

$PM^2 = PN^2$

Поскольку $PM$ и $PN$ представляют собой длины отрезков, они должны быть положительными числами. Из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$PM = PN$

Это равенство означает, что точка $P$, являющаяся точкой пересечения прямой $AB$ и отрезка $MN$, делит отрезок $MN$ на две равные части. Следовательно, прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.

Ответ:

Доказано, что прямая $AB$ делит отрезок $MN$ пополам.