Номер 284, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Две стороны треугольника равны 10 см и 7 см, а косинус угла между ними равен $4/5$. Найдите площадь этого треугольника.

б) Каким должен быть угол C в $\triangle ABC$ со сторонами $CB = a$ и $CA = b$, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

а)

Дано:

Сторона $a = 10 \text{ см}$

Сторона $b = 7 \text{ см}$

Косинус угла между ними $\cos(\gamma) = \frac{4}{5}$

Перевод в СИ:

В данном случае, так как площадь будет выражена в квадратных сантиметрах, перевод в СИ не является строго необходимым для получения численного ответа в требуемых единицах измерения.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Площадь треугольника, заданного двумя сторонами и углом между ними, вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ - длины сторон, а $\gamma$ - угол между ними.

Нам известен косинус угла $\cos(\gamma) = \frac{4}{5}$. Чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

Выразим $\sin(\gamma)$:

$\sin^2(\gamma) = 1 - \cos^2(\gamma)$

$\sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

Поскольку угол $\gamma$ является углом треугольника, он находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0 < \gamma < \pi$). В этом диапазоне значение $\sin(\gamma)$ всегда положительно.

Следовательно:

$\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot \frac{3}{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 70 \text{ см}^2 \cdot \frac{3}{5}$

$S = 35 \text{ см}^2 \cdot \frac{3}{5}$

$S = \frac{35 \cdot 3}{5} \text{ см}^2 = \frac{105}{5} \text{ см}^2 = 21 \text{ см}^2$

Ответ: $21 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Стороны треугольника $\Delta ABC$: $CB = a$, $CA = b$.

Угол между этими сторонами: $C$.

Найти:

Значение угла $C$, при котором площадь треугольника будет наибольшей.

Решение:

Площадь треугольника $\Delta ABC$ с заданными сторонами $a$ и $b$ и углом $C$ между ними определяется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(C)$.

Так как длины сторон $a$ и $b$ фиксированы (являются постоянными величинами для данного треугольника), то площадь $S$ будет максимальной тогда, когда функция $\sin(C)$ достигнет своего максимального значения.

Максимальное значение функции синуса равно $1$. Это значение достигается при угле $C = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол $C$ в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (исключая крайние точки, так как тогда треугольник вырождается в отрезок). В этом интервале $\sin(C)$ достигает максимума, равного $1$, только при $C = 90^\circ$.

Таким образом, чтобы площадь треугольника была наибольшей, угол $C$ должен быть равен $90^\circ$. В этом случае треугольник является прямоугольным.

Ответ: Угол $C$ должен быть равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).