Номер 285, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

285. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

a) 13 см, 14 см и 15 см;

б) 12 см, 16 см, 21 см.

а)

Дано:

$a = 13 \text{ см}$
$b = 14 \text{ см}$
$c = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$
$b = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
$c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $A$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,
где $s$ – полупериметр треугольника, вычисляемый как $s = \frac{a+b+c}{2}$.

Вычислим полупериметр для данного треугольника:
$s = \frac{13 \text{ см} + 14 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} = \frac{42 \text{ см}}{2} = 21 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$A = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$
$A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$A = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$
$A = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$
$A = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
$A = 4 \cdot 3 \cdot 7$
$A = 12 \cdot 7$
$A = 84 \text{ см}^2$

Ответ: $84 \text{ см}^2$

б)

Дано:

$a = 12 \text{ см}$
$b = 16 \text{ см}$
$c = 21 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$b = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$c = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $A$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,
где $s$ – полупериметр треугольника, вычисляемый как $s = \frac{a+b+c}{2}$.

Вычислим полупериметр для данного треугольника:
$s = \frac{12 \text{ см} + 16 \text{ см} + 21 \text{ см}}{2} = \frac{49 \text{ см}}{2} = 24.5 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$A = \sqrt{24.5(24.5-12)(24.5-16)(24.5-21)}$
$A = \sqrt{24.5 \cdot 12.5 \cdot 8.5 \cdot 3.5}$
Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
$s = \frac{49}{2}$, $s-a = \frac{25}{2}$, $s-b = \frac{17}{2}$, $s-c = \frac{7}{2}$.
$A = \sqrt{\frac{49}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{17}{2} \cdot \frac{7}{2}}$
$A = \sqrt{\frac{49 \cdot 25 \cdot 17 \cdot 7}{16}}$
$A = \frac{\sqrt{(7^2) \cdot (5^2) \cdot 17 \cdot 7}}{4}$
$A = \frac{\sqrt{7^3 \cdot 5^2 \cdot 17}}{4}$
$A = \frac{7 \cdot 5 \sqrt{7 \cdot 17}}{4}$
$A = \frac{35 \sqrt{119}}{4} \text{ см}^2$
Приблизительное значение: $A \approx \frac{35 \cdot 10.9087}{4} \approx 95.45 \text{ см}^2$

Ответ: $\frac{35 \sqrt{119}}{4} \text{ см}^2 \approx 95.45 \text{ см}^2$