Номер 289, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

289. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см, если длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла, равна $\frac{60\sqrt{2}}{17}$ см.

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза $c = 13 \text{ см}$

Длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла $l_C = \frac{60\sqrt{2}}{17} \text{ см}$

Перевод в СИ:

$c = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$l_C = \frac{60\sqrt{2}}{17} \text{ см} = \frac{60\sqrt{2}}{1700} \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной окружности $r$.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$. По теореме Пифагора имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставляя значение гипотенузы, получаем:

$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$

2. Формула для длины биссектрисы $l_C$, проведенной из вершины прямого угла (C = 90°) в прямоугольном треугольнике, равна:

$l_C = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$

Нам дано значение $l_C$:

$\frac{ab\sqrt{2}}{a+b} = \frac{60\sqrt{2}}{17}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{2}$, получаем:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{60}{17}$

Отсюда $17ab = 60(a+b)$.

3. Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Мы знаем, что $a^2+b^2 = 169$. Подставим это значение:

$(a+b)^2 = 169 + 2ab$

4. Пусть $X = a+b$. Тогда из равенства $17ab = 60(a+b)$ следует, что $ab = \frac{60X}{17}$.

Подставим выражение для $ab$ в уравнение из пункта 3:

$X^2 = 169 + 2 \left(\frac{60X}{17}\right)$

$X^2 = 169 + \frac{120X}{17}$

5. Умножим все члены уравнения на 17, чтобы избавиться от знаменателя:

$17X^2 = 17 \cdot 169 + 120X$

$17X^2 - 120X - 2873 = 0$

6. Решим это квадратное уравнение относительно $X$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $X = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$.

Здесь $A=17$, $B=-120$, $C=-2873$.

Дискриминант $D = (-120)^2 - 4(17)(-2873) = 14400 + 195364 = 209764$.

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{209764} = 458$.

7. Найдем значения $X$:

$X = \frac{120 \pm 458}{2 \cdot 17} = \frac{120 \pm 458}{34}$

Так как $X = a+b$ (сумма длин сторон), $X$ должно быть положительным. Берем положительный корень:

$X = \frac{120 + 458}{34} = \frac{578}{34} = 17$

Таким образом, сумма катетов $a+b = 17 \text{ см}$.

8. Радиус $r$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Подставим известные значения $a+b=17 \text{ см}$ и $c=13 \text{ см}$:

$r = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ:

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен $2 \text{ см}$.