Номер 286, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

286. Найдите площадь и меньшую диагональ трапеции, если ее основания $4$ см и $9$ см, большая боковая сторона $5$ см, а прилежащий к ней угол $36^\circ$.

Дано:

Трапеция ABCD

Основания: $a = AD = 9 \text{ см}$, $b = BC = 4 \text{ см}$

Большая боковая сторона: $c_2 = CD = 5 \text{ см}$

Угол, прилежащий к большей боковой стороне: $\angle D = 36^\circ$

В системе СИ:

$a = 0.09 \text{ м}$

$b = 0.04 \text{ м}$

$c_2 = 0.05 \text{ м}$

$\angle D = 36^\circ$

Найти:

Площадь трапеции ($S$)

Меньшую диагональ трапеции ($d_{min}$)

Решение:

Пусть трапеция будет ABCD, где AD и BC - основания, AD - большее основание, BC - меньшее основание. CD - большая боковая сторона, а угол D = $36^\circ$. Опустим высоту CH из вершины C на основание AD.

1. Нахождение высоты трапеции:

В прямоугольном треугольнике CHD:

$CH = CD \cdot \sin(\angle D)$

$h = 5 \cdot \sin(36^\circ)$

Используем приближенное значение $\sin(36^\circ) \approx 0.587785$.

$h = 5 \cdot 0.587785 = 2.938925 \text{ см}$

Ответ: $h \approx 2.939 \text{ см}$

2. Нахождение площади трапеции:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{9 + 4}{2} \cdot (5 \cdot \sin(36^\circ))$

$S = \frac{13}{2} \cdot 5 \cdot \sin(36^\circ)$

$S = 32.5 \cdot \sin(36^\circ)$

$S = 32.5 \cdot 0.587785 = 19.10299 \text{ см}^2$

Ответ: $S \approx 19.103 \text{ см}^2$

3. Нахождение меньшей диагонали трапеции:

Найдем проекцию боковой стороны CD на основание AD:

$HD = CD \cdot \cos(\angle D)$

$HD = 5 \cdot \cos(36^\circ)$

Используем приближенное значение $\cos(36^\circ) \approx 0.809017$.

$HD = 5 \cdot 0.809017 = 4.045085 \text{ см}$

Теперь вычислим длины обеих диагоналей: AC и BD.

а) Диагональ AC:

Рассмотрим треугольник ACD. По теореме косинусов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 9^2 + 5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \cos(36^\circ)$

$AC^2 = 81 + 25 - 90 \cdot \cos(36^\circ)$

$AC^2 = 106 - 90 \cdot 0.809017$

$AC^2 = 106 - 72.81153 = 33.18847$

$AC = \sqrt{33.18847} \approx 5.76094 \text{ см}$

Ответ: $AC \approx 5.761 \text{ см}$

б) Диагональ BD:

Опустим высоту BK из вершины B на основание AD. Поскольку BCKН - прямоугольник, $KH = BC = 4 \text{ см}$.

Длина отрезка KD на основании AD: $KD = KH + HD = BC + HD$

$KD = 4 + 5 \cdot \cos(36^\circ)$

$KD = 4 + 4.045085 = 8.045085 \text{ см}$

В прямоугольном треугольнике BKD, высота $BK = h = 5 \cdot \sin(36^\circ)$.

По теореме Пифагора:

$BD^2 = BK^2 + KD^2$

$BD^2 = (5 \cdot \sin(36^\circ))^2 + (4 + 5 \cdot \cos(36^\circ))^2$

$BD^2 = 25 \cdot \sin^2(36^\circ) + 16 + 40 \cdot \cos(36^\circ) + 25 \cdot \cos^2(36^\circ)$

$BD^2 = 25(\sin^2(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)) + 16 + 40 \cdot \cos(36^\circ)$

$BD^2 = 25 \cdot 1 + 16 + 40 \cdot \cos(36^\circ)$

$BD^2 = 41 + 40 \cdot \cos(36^\circ)$

$BD^2 = 41 + 40 \cdot 0.809017$

$BD^2 = 41 + 32.36068 = 73.36068$

$BD = \sqrt{73.36068} \approx 8.56508 \text{ см}$

Ответ: $BD \approx 8.565 \text{ см}$

Сравнивая длины диагоналей: $AC \approx 5.761 \text{ см}$ и $BD \approx 8.565 \text{ см}$.

Меньшая диагональ - это AC.

Ответ:

Площадь трапеции: $S \approx 19.103 \text{ см}^2$

Меньшая диагональ: $AC \approx 5.761 \text{ см}$