Номер 291, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

291. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведены его высота и медиана, равные соответственно 12 см и 15 см. Найдите стороны и острые углы этого треугольника.

Дано:

Высота, проведенная из вершины прямого угла $h_c = 12 \text{ см}$

Медиана, проведенная из вершины прямого угла $m_c = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$h_c = 0.12 \text{ м}$

$m_c = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Стороны треугольника $a, b, c$

Острые углы треугольника $\alpha, \beta$

Решение:

1. Находим длину гипотенузы $c$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если $m_c$ - медиана, а $c$ - гипотенуза, то:

$m_c = \frac{c}{2}$

Отсюда $c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

2. Находим отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Пусть треугольник ABC - прямоугольный, с прямым углом при вершине C. Пусть CD - высота, проведенная к гипотенузе AB, и CM - медиана, проведенная к гипотенузе AB. Тогда D лежит на AB, M - середина AB.

Длина медианы CM = $m_c = 15 \text{ см}$.

Длина высоты CD = $h_c = 12 \text{ см}$.

Поскольку M - середина гипотенузы AB, то $AM = MB = \frac{c}{2} = \frac{30 \text{ см}}{2} = 15 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDM (угол D прямой, так как CD - высота). В этом треугольнике CM - гипотенуза, CD и DM - катеты.

По теореме Пифагора: $DM^2 = CM^2 - CD^2$

$DM^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$DM = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$.

Теперь найдем длины отрезков AD и DB, на которые высота CD делит гипотенузу AB. Поскольку AM = 15 см и DM = 9 см, а D находится на гипотенузе, то AD = AM - DM или AD = AM + DM. Так как DM меньше AM, точка D лежит между A и M.

$AD = AM - DM = 15 \text{ см} - 9 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

$DB = MB + DM = 15 \text{ см} + 9 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Проверим: $AD + DB = 6 + 24 = 30 \text{ см}$, что равно гипотенузе $c$.

3. Находим длины катетов $a$ и $b$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Пусть $a$ - катет BC, а $b$ - катет AC.

Для катета BC ($a$), его проекция на гипотенузу - это DB.

$a^2 = c \cdot DB = 30 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 720 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5} \text{ см}$.

Для катета AC ($b$), его проекция на гипотенузу - это AD.

$b^2 = c \cdot AD = 30 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 180 \text{ см}^2$

$b = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \text{ см}$.

4. Находим острые углы треугольника.

Острые углы треугольника можно найти, используя тригонометрические функции.

Пусть $\alpha$ - угол при вершине A, $\beta$ - угол при вершине B.

Используем отношение тангенса в прямоугольном треугольнике ABC:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

$\tan \alpha = \frac{12\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = 2$

$\alpha = \arctan(2) \approx 63.43^\circ$.

$\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$

$\tan \beta = \frac{6\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = \frac{1}{2} = 0.5$

$\beta = \arctan(0.5) \approx 26.57^\circ$.

Проверка суммы острых углов: $\alpha + \beta \approx 63.43^\circ + 26.57^\circ = 90^\circ$.

Ответ:

Стороны треугольника: $30 \text{ см}$, $12\sqrt{5} \text{ см}$, $6\sqrt{5} \text{ см}$.

Острые углы треугольника: $\arctan(2)$ и $\arctan(0.5)$ (приблизительно $63.43^\circ$ и $26.57^\circ$).