Номер 298, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

298. Днище $H$ самой глубокой впадины Казахстана Карагие (рисунок 167) расположено так, что с высоты $100 \text{ м}$ над одним из ее краев $C$ оно видно под углом $\angle HAC$, равным $25^\circ$, а с высоты $200 \text{ м}$ – под углом $\angle HBC$, равным $18^\circ$ (когда-то в котловине впадины располагалось соленое озеро, называемое Батыр). Какова глубина этой впадины относительно края $C$? (Найдите ответ с точностью до $1 \text{ м}$).

a)

б)

Рисунок 167

Высота первой точки наблюдения над краем C: $h_1 = 100 \text{ м}$
Высота второй точки наблюдения над краем C: $h_2 = 200 \text{ м}$
Угол наблюдения дна H из первой точки A (относительно вертикали AC): $\alpha = 25^\circ$
Угол наблюдения дна H из второй точки B (относительно вертикали BC): $\beta = 18^\circ$

Глубина впадины относительно края C: $h$

Обозначим горизонтальное расстояние от вертикальной линии, проходящей через точки C, A, B, до дна H как $L$.
Пусть $h$ - искомая глубина впадины от края C до дна H. Точки C, A, B расположены на одной вертикальной линии, причем C находится на краю впадины (условно на уровне 0), A на высоте 100 м над C, B на высоте 200 м над C.
Дно H находится на глубине $h$ ниже C.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой наблюдения A, дном H и проекцией дна H на вертикальную линию CAB (назовем эту проекцию $P_H$). В этом треугольнике:
1. Противолежащий катет к углу $\alpha$ - это горизонтальное расстояние $L$.
2. Прилежащий катет к углу $\alpha$ - это вертикальное расстояние от точки A до дна H. Поскольку A находится на высоте 100 м над C, а H на глубине $h$ ниже C, то вертикальное расстояние от A до H составляет $100 + h$ м.
Таким образом, из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{L}{100 + h} $ Выразим $L$ из этого уравнения: $ L = (100 + h) \tan(\alpha) \quad (1) $

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой наблюдения B, дном H и проекцией дна H на вертикальную линию CAB ($P_H$).
1. Противолежащий катет к углу $\beta$ - это горизонтальное расстояние $L$.
2. Прилежащий катет к углу $\beta$ - это вертикальное расстояние от точки B до дна H. Поскольку B находится на высоте 200 м над C, а H на глубине $h$ ниже C, то вертикальное расстояние от B до H составляет $200 + h$ м.
Таким образом: $ \tan(\beta) = \frac{L}{200 + h} $ Выразим $L$ из этого уравнения: $ L = (200 + h) \tan(\beta) \quad (2) $

Приравняем выражения для $L$ из уравнений (1) и (2), так как горизонтальное расстояние $L$ одинаково для обоих случаев: $ (100 + h) \tan(\alpha) = (200 + h) \tan(\beta) $ Раскроем скобки: $ 100 \tan(\alpha) + h \tan(\alpha) = 200 \tan(\beta) + h \tan(\beta) $ Перенесем слагаемые, содержащие $h$, в левую часть уравнения, а остальные слагаемые - в правую: $ h \tan(\alpha) - h \tan(\beta) = 200 \tan(\beta) - 100 \tan(\alpha) $ Вынесем $h$ за скобки: $ h (\tan(\alpha) - \tan(\beta)) = 200 \tan(\beta) - 100 \tan(\alpha) $ Выразим $h$: $ h = \frac{200 \tan(\beta) - 100 \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) - \tan(\beta)} $

Подставим числовые значения: $\alpha = 25^\circ$, $\beta = 18^\circ$.
Используем приближенные значения тангенсов:
$ \tan(25^\circ) \approx 0.466307658 $
$ \tan(18^\circ) \approx 0.324919696 $

Выполним вычисления: $ h = \frac{200 \cdot 0.324919696 - 100 \cdot 0.466307658}{0.466307658 - 0.324919696} $ $ h = \frac{64.9839392 - 46.6307658}{0.141387962} $ $ h = \frac{18.3531734}{0.141387962} $ $ h \approx 129.8060 \text{ м} $

Округлим полученное значение до 1 метра, как того требует условие задачи. $ h \approx 130 \text{ м} $

Примерно 130 м.