Номер 303, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

303. Даны две параллельные прямые и точка между ними. Постройте прямоугольный треугольник наименьшей площади с вершиной прямого угла в этой точке и двумя другими вершинами на данных прямых.

Дано

Две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$.

Точка $P$, расположенная между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Найти

Построить прямоугольный треугольник $PAB$ с вершиной прямого угла в точке $P$, такими что вершина $A$ лежит на прямой $l_1$, а вершина $B$ лежит на прямой $l_2$, и площадь треугольника $PAB$ является наименьшей.

Решение

Для определения условий, при которых площадь треугольника $PAB$ будет наименьшей, воспользуемся координатным методом.

Пусть точка $P$ находится в начале координат $(0,0)$.

Пусть прямая $l_1$ задается уравнением $y = h_1$, а прямая $l_2$ — уравнением $y = -h_2$, где $h_1 > 0$ - расстояние от $P$ до $l_1$, и $h_2 > 0$ - расстояние от $P$ до $l_2$. Ось $y$ перпендикулярна прямым $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $A$ лежит на прямой $l_1$, её координаты $A = (x_A, h_1)$.

Пусть точка $B$ лежит на прямой $l_2$, её координаты $B = (x_B, -h_2)$.

Поскольку угол $APB$ является прямым, векторы $\vec{PA}$ и $\vec{PB}$ ортогональны. Их скалярное произведение равно нулю.

Вектор $\vec{PA} = (x_A - 0, h_1 - 0) = (x_A, h_1)$.

Вектор $\vec{PB} = (x_B - 0, -h_2 - 0) = (x_B, -h_2)$.

Условие ортогональности: $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$, то есть $x_A x_B + h_1 (-h_2) = 0$.

Отсюда получаем $x_A x_B = h_1 h_2$.

Площадь $S$ треугольника $PAB$ определяется как $S = \frac{1}{2} |\vec{PA}| \cdot |\vec{PB}|$.

Длины сторон: $|\vec{PA}| = \sqrt{x_A^2 + h_1^2}$ и $|\vec{PB}| = \sqrt{x_B^2 + h_2^2}$.

Тогда $S = \frac{1}{2} \sqrt{(x_A^2 + h_1^2)(x_B^2 + h_2^2)}$.

Для минимизации площади $S$ достаточно минимизировать $S^2$. Подставим $x_B = \frac{h_1 h_2}{x_A}$ (отметим, что $x_A \neq 0$, так как $h_1 h_2 \neq 0$).

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) \left( \left(\frac{h_1 h_2}{x_A}\right)^2 + h_2^2 \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) \left( \frac{h_1^2 h_2^2}{x_A^2} + h_2^2 \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) h_2^2 \left( \frac{h_1^2}{x_A^2} + 1 \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) h_2^2 \frac{h_1^2 + x_A^2}{x_A^2}$

$S^2 = \frac{1}{4} \frac{h_2^2}{x_A^2} (x_A^2 + h_1^2)^2$

Извлекая квадратный корень (поскольку $S > 0$, $h_2 > 0$):

$S = \frac{1}{2} \frac{h_2}{|x_A|} (x_A^2 + h_1^2)$

Пусть $u = |x_A|$. Так как $x_A \neq 0$, то $u > 0$. Тогда выражение для площади принимает вид:

$S = \frac{h_2}{2} \left( u + \frac{h_1^2}{u} \right)$

Согласно неравенству о среднем арифметическом и геометрическом (AM-GM), для любых положительных чисел $a$ и $b$, $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

Применяя его к $u$ и $\frac{h_1^2}{u}$:

$u + \frac{h_1^2}{u} \ge 2 \sqrt{u \cdot \frac{h_1^2}{u}} = 2 \sqrt{h_1^2} = 2h_1$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $u = \frac{h_1^2}{u}$, что означает $u^2 = h_1^2$. Поскольку $u > 0$, получаем $u = h_1$.

Таким образом, минимальное значение $S$ достигается при $|x_A| = h_1$.

Минимальная площадь $S_{min} = \frac{h_2}{2} (2h_1) = h_1 h_2$.

Условие $|x_A|=h_1$ и $x_A x_B = h_1 h_2$ означает, что $|x_B|=h_2$, и $x_A$, $x_B$ должны иметь одинаковый знак.

Например, можно выбрать $x_A = h_1$ и $x_B = h_2$. В этом случае $A=(h_1, h_1)$ и $B=(h_2, -h_2)$.

Ответ

Алгоритм построения треугольника наименьшей площади:

1. Проведите прямую $k$ через точку $P$, перпендикулярную данным параллельным прямым $l_1$ и $l_2$.

2. Обозначьте точки пересечения прямой $k$ с прямой $l_1$ как $M_1$, а с прямой $l_2$ как $M_2$.

3. Измерьте расстояние от точки $P$ до $l_1$, это длина отрезка $PM_1$. Обозначим эту длину как $h_1$.

4. Измерьте расстояние от точки $P$ до $l_2$, это длина отрезка $PM_2$. Обозначим эту длину как $h_2$.

5. На прямой $l_1$ отложите от точки $M_1$ отрезок $M_1A$ длиной $h_1$. Выберите любое из двух возможных направлений (например, вправо от прямой $k$).

6. На прямой $l_2$ отложите от точки $M_2$ отрезок $M_2B$ длиной $h_2$ в том же направлении относительно прямой $k$, что и отрезок $M_1A$. То есть, если $A$ находится справа от прямой $k$, то $B$ также должен находиться справа от $k$; если $A$ слева от $k$, то $B$ также слева от $k$.

7. Соедините точки $P, A, B$. Полученный треугольник $PAB$ является искомым прямоугольным треугольником наименьшей площади.