Номер 306, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

306. Решите треугольник $ABC$ со следующими данными:

а) $AB = 8, \angle A = 143^\circ, \angle B = 22^\circ$;

б) $BC = 9, \angle B = 33^\circ, \angle C = 66^\circ$.

а)

Дано:
Сторона $AB = c = 8$
Угол $\angle A = 143^\circ$
Угол $\angle B = 22^\circ$

Найти:
Угол $\angle C$
Сторона $BC = a$
Сторона $AC = b$

Решение:
1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle C = 180^\circ - (143^\circ + 22^\circ)$
$\angle C = 180^\circ - 165^\circ$
$\angle C = 15^\circ$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $a$ и $b$. Теорема синусов гласит:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Найдем сторону $a$ (сторона $BC$):
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$
$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C}$
$a = \frac{8 \cdot \sin 143^\circ}{\sin 15^\circ}$
Поскольку $\sin 143^\circ = \sin (180^\circ - 143^\circ) = \sin 37^\circ$, подставим это значение:
$a = \frac{8 \cdot \sin 37^\circ}{\sin 15^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 37^\circ \approx 0.6018$ и $\sin 15^\circ \approx 0.2588$:
$a \approx \frac{8 \cdot 0.6018}{0.2588} \approx \frac{4.8144}{0.2588} \approx 18.59$

Найдем сторону $b$ (сторона $AC$):
$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C}$
$b = \frac{8 \cdot \sin 22^\circ}{\sin 15^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 22^\circ \approx 0.3746$ и $\sin 15^\circ \approx 0.2588$:
$b \approx \frac{8 \cdot 0.3746}{0.2588} \approx \frac{2.9968}{0.2588} \approx 11.58$

Ответ:
$\angle C = 15^\circ$
$a \approx 18.59$
$b \approx 11.58$

б)

Дано:
Сторона $BC = a = 9$
Угол $\angle B = 33^\circ$
Угол $\angle C = 66^\circ$

Найти:
Угол $\angle A$
Сторона $AC = b$
Сторона $AB = c$

Решение:
1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$
$\angle A = 180^\circ - (33^\circ + 66^\circ)$
$\angle A = 180^\circ - 99^\circ$
$\angle A = 81^\circ$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $b$ и $c$. Теорема синусов гласит:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Найдем сторону $b$ (сторона $AC$):
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$
$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$
$b = \frac{9 \cdot \sin 33^\circ}{\sin 81^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 33^\circ \approx 0.5446$ и $\sin 81^\circ \approx 0.9877$:
$b \approx \frac{9 \cdot 0.5446}{0.9877} \approx \frac{4.9014}{0.9877} \approx 4.96$

Найдем сторону $c$ (сторона $AB$):
$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$
$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}$
$c = \frac{9 \cdot \sin 66^\circ}{\sin 81^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 66^\circ \approx 0.9135$ и $\sin 81^\circ \approx 0.9877$:
$c \approx \frac{9 \cdot 0.9135}{0.9877} \approx \frac{8.2215}{0.9877} \approx 8.32$

Ответ:
$\angle A = 81^\circ$
$b \approx 4.96$
$c \approx 8.32$