Номер 308, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

308. Найдите с точностью до 0,1 м стороны AB и AC участка треугольной формы, если его площадь примерно равна $662 \text{ м}^2$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

Дано:

Площадь участка $S = 662 \text{ м}^2$

Угол $\angle A = 60^\circ$

Угол $\angle C = 45^\circ$

Найти:

Сторона $AB$ (с точностью до $0.1 \text{ м}$)

Сторона $AC$ (с точностью до $0.1 \text{ м}$)

Решение:

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$.

1. Найдем величину угла $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

2. Воспользуемся формулой для площади треугольника, которая выражается через две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} b c \sin A$

3. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Отсюда выразим сторону $b$ через $c$:

$b = c \frac{\sin B}{\sin C}$

$b = c \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

4. Подставим полученное выражение для $b$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \left( c \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \right) c \sin A$

$S = \frac{1}{2} c^2 \frac{\sin 75^\circ \sin A}{\sin 45^\circ}$

Выразим $c^2$ из этого уравнения:

$c^2 = \frac{2 S \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ \sin A}$

Подставим известные значения и точные значения синусов:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$c^2 = \frac{2 \cdot 662 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$c^2 = \frac{662 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{18}+\sqrt{6}}{8}}$

$c^2 = \frac{662 \sqrt{2} \cdot 8}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

$c^2 = \frac{5296 \sqrt{2}}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя $(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$:

$c^2 = \frac{5296 \sqrt{2} (3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{6})(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}$

$c^2 = \frac{5296 (3 \cdot 2 - \sqrt{12})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$c^2 = \frac{5296 (6 - 2\sqrt{3})}{18 - 6}$

$c^2 = \frac{5296 \cdot 2 (3 - \sqrt{3})}{12}$

$c^2 = \frac{5296 (3 - \sqrt{3})}{6}$

$c^2 = \frac{2648 (3 - \sqrt{3})}{3}$

Вычислим численное значение $c$ (сторона $AB$):

$c = \sqrt{\frac{2648 (3 - \sqrt{3})}{3}}$

Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.7320508$:

$c^2 \approx \frac{2648 (3 - 1.7320508)}{3} \approx \frac{2648 \cdot 1.2679492}{3} \approx \frac{3357.75508896}{3} \approx 1119.251696$

$c \approx \sqrt{1119.251696} \approx 33.45522$

Округлим до $0.1 \text{ м}$:

$AB = c \approx 33.5 \text{ м}$

5. Теперь найдем $b$ (сторона $AC$) из соотношения $b = c \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$:

$b = c \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = c \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = c \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Используем вычисленное значение $c$ до округления для большей точности:

$b \approx 33.45522 \cdot \frac{1.7320508 + 1}{2}$

$b \approx 33.45522 \cdot \frac{2.7320508}{2}$

$b \approx 33.45522 \cdot 1.3660254$

$b \approx 45.6987$

Округлим до $0.1 \text{ м}$:

$AC = b \approx 45.7 \text{ м}$

Ответ:

$AB \approx 33.5 \text{ м}$

$AC \approx 45.7 \text{ м}$