Страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

304. a) В $ \triangle ABC $ $ \angle C = 135^\circ $, высоты $ AK = 4\sqrt{2} $ см и $ BH = 8 $ см. Найдите сторону $ AB $ и площадь этого треугольника.

б) Найдите площадь участка земли, имеющего форму треугольника со стороной 20 м и прилежащими к ней углами $ 37^\circ $ и $ 53^\circ $.

а)

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$

Угол $\angle C = 135^\circ$

Высота $AK = 4\sqrt{2}$ см (высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$ или ее продолжение)

Высота $BH = 8$ см (высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$ или ее продолжение)

Перевод в СИ:

$AK = 4\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

$BH = 8 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Сторона $AB$

Площадь $S_{\triangle ABC}$

Решение:

Так как угол $\angle C = 135^\circ$ является тупым, то высоты $AK$ и $BH$ будут опускаться на продолжения сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. Угол $\angle ACK$ является смежным с углом $\angle C$, поэтому $\angle ACK = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AKC$ (где $AK$ - катет, $AC$ - гипотенуза):

$AC = \frac{AK}{\sin(\angle ACK)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Угол $\angle BCH$ также является смежным с углом $\angle C$, поэтому $\angle BCH = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ (где $BH$ - катет, $BC$ - гипотенуза):

$BC = \frac{BH}{\sin(\angle BCH)} = \frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C)$

Подставим найденные значения $AC$, $BC$ и заданный угол $\angle C$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)$

Так как $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 64\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 1 = 32$ см$^2$.

Для нахождения стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим значения $AC=8$ см, $BC=8\sqrt{2}$ см и $\angle C = 135^\circ$:

$AB^2 = 8^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$

Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AB^2 = 64 + (64 \cdot 2) - 2 \cdot 64\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$AB^2 = 64 + 128 - (-64 \cdot 2)$

$AB^2 = 64 + 128 + 128 = 64 + 256 = 320$

Теперь найдем $AB$, извлекая квадратный корень:

$AB = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$ см.

Ответ: Сторона $AB = 8\sqrt{5}$ см, площадь $S_{\triangle ABC} = 32$ см$^2$.

б)

Дано:

Треугольный участок земли

Одна сторона $c = 20$ м

Прилежащие к ней углы $\alpha = 37^\circ$, $\beta = 53^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже заданы в системе СИ.

Найти:

Площадь $S$ участка

Решение:

Пусть данная сторона будет $AB = c = 20$ м, а прилежащие к ней углы - $\angle A = 37^\circ$ и $\angle B = 53^\circ$.

Найдем третий угол треугольника $\angle C$, используя свойство суммы углов треугольника:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 37^\circ - 53^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника равен $90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным. Сторона $c=20$ м является гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем длины катетов $a$ (сторона $BC$, противолежащая углу $\angle A$) и $b$ (сторона $AC$, противолежащая углу $\angle B$). Используем теорему синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C} = 20 \cdot \frac{\sin 37^\circ}{\sin 90^\circ} = 20 \cdot \sin 37^\circ$

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow b = c \cdot \frac{\sin B}{\sin C} = 20 \cdot \frac{\sin 53^\circ}{\sin 90^\circ} = 20 \cdot \sin 53^\circ$

Площадь $S$ треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot (20 \sin 37^\circ) \cdot (20 \sin 53^\circ)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \sin 37^\circ \cdot \sin 53^\circ$

$S = 200 \cdot \sin 37^\circ \cdot \sin 53^\circ$

Используем тригонометрическое тождество $\sin x = \cos(90^\circ - x)$. В нашем случае, $\sin 53^\circ = \cos(90^\circ - 53^\circ) = \cos 37^\circ$.

$S = 200 \cdot \sin 37^\circ \cdot \cos 37^\circ$

Применим формулу синуса двойного угла: $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$.

$S = 100 \cdot (2 \sin 37^\circ \cos 37^\circ) = 100 \cdot \sin(2 \cdot 37^\circ) = 100 \cdot \sin(74^\circ)$

Используя значение $\sin(74^\circ) \approx 0.96126$:

$S \approx 100 \cdot 0.96126 = 96.126$ м$^2$.

Округляем до двух знаков после запятой.

Ответ: Площадь участка примерно $96.13$ м$^2$.

305. В $\Delta ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$; высота $BD = 3\sqrt{2}$ см. Найдите стороны треугольника.

Дано
В треугольнике $\triangle ABC$:
$\angle A = 30^\circ$
$\angle B = 45^\circ$
Высота $BD = 3\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ
$\angle A = 30^\circ$
$\angle B = 45^\circ$
$BD = 3\sqrt{2} \text{ см} = 3\sqrt{2} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти
Стороны $AB$, $BC$, $AC$.

Решение
1. Определим тип треугольника $ABC$, найдя угол $\angle C$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
Поскольку угол $\angle C$ тупой ($105^\circ > 90^\circ$), высота $BD$ (опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$) падает на продолжение стороны $AC$ за вершину $C$. Таким образом, точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle ADB = 90^\circ$).
Нам известны $\angle A = 30^\circ$ и противолежащий катет $BD = 3\sqrt{2}$ см.
Найдем гипотенузу $AB$:
$\sin A = \frac{BD}{AB}$
$AB = \frac{BD}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{0.5} = 6\sqrt{2}$ см.
Найдем катет $AD$:
$\tan A = \frac{BD}{AD}$
$AD = \frac{BD}{\tan A} = \frac{3\sqrt{2}}{\tan 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBD$ ($\angle CDB = 90^\circ$).
Угол $\angle BCD$ является смежным с углом $\angle ACB$ треугольника $ABC$.
$\angle BCD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
Найдем гипотенузу $BC$:
$\sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC}$
Для вычисления $\sin 75^\circ$ используем формулу $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$:
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
$BC = \frac{BD}{\sin 75^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
$BC = \frac{12\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12\sqrt{12} - 12\sqrt{4}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{12 \cdot 2\sqrt{3} - 12 \cdot 2}{6 - 2} = \frac{24\sqrt{3} - 24}{4} = 6\sqrt{3} - 6$ см.
Найдем катет $CD$:
$\tan(\angle BCD) = \frac{BD}{CD}$
Для вычисления $\tan 75^\circ$ используем формулу $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$:
$\tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1/\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 1)/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
$CD = \frac{BD}{\tan 75^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{2 + \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$CD = \frac{3\sqrt{2}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{4 - 3} = 6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}$ см.

4. Найдем сторону $AC$.
Поскольку точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$, то $AD = AC + CD$.
Отсюда $AC = AD - CD$.
$AC = 3\sqrt{6} - (6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) = 3\sqrt{6} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$ см.

Ответ:
Стороны треугольника: $AB = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 6\sqrt{3} - 6$ см, $AC = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$ см.

306. Решите треугольник $ABC$ со следующими данными:

а) $AB = 8, \angle A = 143^\circ, \angle B = 22^\circ$;

б) $BC = 9, \angle B = 33^\circ, \angle C = 66^\circ$.

а)

Дано:
Сторона $AB = c = 8$
Угол $\angle A = 143^\circ$
Угол $\angle B = 22^\circ$

Найти:
Угол $\angle C$
Сторона $BC = a$
Сторона $AC = b$

Решение:
1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle C = 180^\circ - (143^\circ + 22^\circ)$
$\angle C = 180^\circ - 165^\circ$
$\angle C = 15^\circ$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $a$ и $b$. Теорема синусов гласит:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Найдем сторону $a$ (сторона $BC$):
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$
$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C}$
$a = \frac{8 \cdot \sin 143^\circ}{\sin 15^\circ}$
Поскольку $\sin 143^\circ = \sin (180^\circ - 143^\circ) = \sin 37^\circ$, подставим это значение:
$a = \frac{8 \cdot \sin 37^\circ}{\sin 15^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 37^\circ \approx 0.6018$ и $\sin 15^\circ \approx 0.2588$:
$a \approx \frac{8 \cdot 0.6018}{0.2588} \approx \frac{4.8144}{0.2588} \approx 18.59$

Найдем сторону $b$ (сторона $AC$):
$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C}$
$b = \frac{8 \cdot \sin 22^\circ}{\sin 15^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 22^\circ \approx 0.3746$ и $\sin 15^\circ \approx 0.2588$:
$b \approx \frac{8 \cdot 0.3746}{0.2588} \approx \frac{2.9968}{0.2588} \approx 11.58$

Ответ:
$\angle C = 15^\circ$
$a \approx 18.59$
$b \approx 11.58$

б)

Дано:
Сторона $BC = a = 9$
Угол $\angle B = 33^\circ$
Угол $\angle C = 66^\circ$

Найти:
Угол $\angle A$
Сторона $AC = b$
Сторона $AB = c$

Решение:
1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$
$\angle A = 180^\circ - (33^\circ + 66^\circ)$
$\angle A = 180^\circ - 99^\circ$
$\angle A = 81^\circ$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $b$ и $c$. Теорема синусов гласит:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Найдем сторону $b$ (сторона $AC$):
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$
$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$
$b = \frac{9 \cdot \sin 33^\circ}{\sin 81^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 33^\circ \approx 0.5446$ и $\sin 81^\circ \approx 0.9877$:
$b \approx \frac{9 \cdot 0.5446}{0.9877} \approx \frac{4.9014}{0.9877} \approx 4.96$

Найдем сторону $c$ (сторона $AB$):
$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$
$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}$
$c = \frac{9 \cdot \sin 66^\circ}{\sin 81^\circ}$
Используя приближенные значения $\sin 66^\circ \approx 0.9135$ и $\sin 81^\circ \approx 0.9877$:
$c \approx \frac{9 \cdot 0.9135}{0.9877} \approx \frac{8.2215}{0.9877} \approx 8.32$

Ответ:
$\angle A = 81^\circ$
$b \approx 4.96$
$c \approx 8.32$

307. Найдите неизвестную сторону и углы $ \Delta ABC $, если $ AB = 3 $ см, $ AC = 5 $ см, $ \angle A = 60^\circ $.

Дано:

$AB = 3 \text{ см}$

$AC = 5 \text{ см}$

$\angle A = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$AC = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\angle A = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$BC$

$\angle B$

$\angle C$

Решение:

Для нахождения неизвестной стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае, для стороны $BC$:

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos \angle A$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

Вычислим значения. Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$BC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 34 - 15$

$BC^2 = 19$

Отсюда находим длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{19} \text{ см}$

Теперь найдем углы $\angle B$ и $\angle C$. Воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянным для данного треугольника:

$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle C}$

Найдем $\angle C$ используя отношение $\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C}$:

$\sin \angle C = \frac{AB \cdot \sin \angle A}{BC}$

Подставим известные значения, зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin \angle C = \frac{3 \cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{19}}$

$\sin \angle C = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{19}}$

$\sin \angle C = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{57}}{38}$

Точное значение угла $\angle C$:

$\angle C = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{57}}{38}\right)$

Приближенное значение $\frac{3\sqrt{57}}{38} \approx 0.5959$. Тогда:

$\angle C \approx 36.58^\circ$

Для нахождения угла $\angle B$ воспользуемся свойством, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

Подставим известные и найденные значения:

$\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 36.58^\circ$

$\angle B = 120^\circ - 36.58^\circ$

$\angle B \approx 83.42^\circ$

Ответ:

Неизвестная сторона $BC = \sqrt{19} \text{ см} \approx 4.36 \text{ см}$.

Угол $\angle B \approx 83.42^\circ$.

Угол $\angle C \approx 36.58^\circ$.

308. Найдите с точностью до 0,1 м стороны AB и AC участка треугольной формы, если его площадь примерно равна $662 \text{ м}^2$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

Дано:

Площадь участка $S = 662 \text{ м}^2$

Угол $\angle A = 60^\circ$

Угол $\angle C = 45^\circ$

Найти:

Сторона $AB$ (с точностью до $0.1 \text{ м}$)

Сторона $AC$ (с точностью до $0.1 \text{ м}$)

Решение:

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$.

1. Найдем величину угла $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

2. Воспользуемся формулой для площади треугольника, которая выражается через две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} b c \sin A$

3. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Отсюда выразим сторону $b$ через $c$:

$b = c \frac{\sin B}{\sin C}$

$b = c \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

4. Подставим полученное выражение для $b$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \left( c \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \right) c \sin A$

$S = \frac{1}{2} c^2 \frac{\sin 75^\circ \sin A}{\sin 45^\circ}$

Выразим $c^2$ из этого уравнения:

$c^2 = \frac{2 S \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ \sin A}$

Подставим известные значения и точные значения синусов:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$c^2 = \frac{2 \cdot 662 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$c^2 = \frac{662 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{18}+\sqrt{6}}{8}}$

$c^2 = \frac{662 \sqrt{2} \cdot 8}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

$c^2 = \frac{5296 \sqrt{2}}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя $(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$:

$c^2 = \frac{5296 \sqrt{2} (3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{6})(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}$

$c^2 = \frac{5296 (3 \cdot 2 - \sqrt{12})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$c^2 = \frac{5296 (6 - 2\sqrt{3})}{18 - 6}$

$c^2 = \frac{5296 \cdot 2 (3 - \sqrt{3})}{12}$

$c^2 = \frac{5296 (3 - \sqrt{3})}{6}$

$c^2 = \frac{2648 (3 - \sqrt{3})}{3}$

Вычислим численное значение $c$ (сторона $AB$):

$c = \sqrt{\frac{2648 (3 - \sqrt{3})}{3}}$

Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.7320508$:

$c^2 \approx \frac{2648 (3 - 1.7320508)}{3} \approx \frac{2648 \cdot 1.2679492}{3} \approx \frac{3357.75508896}{3} \approx 1119.251696$

$c \approx \sqrt{1119.251696} \approx 33.45522$

Округлим до $0.1 \text{ м}$:

$AB = c \approx 33.5 \text{ м}$

5. Теперь найдем $b$ (сторона $AC$) из соотношения $b = c \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$:

$b = c \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = c \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = c \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Используем вычисленное значение $c$ до округления для большей точности:

$b \approx 33.45522 \cdot \frac{1.7320508 + 1}{2}$

$b \approx 33.45522 \cdot \frac{2.7320508}{2}$

$b \approx 33.45522 \cdot 1.3660254$

$b \approx 45.6987$

Округлим до $0.1 \text{ м}$:

$AC = b \approx 45.7 \text{ м}$

Ответ:

$AB \approx 33.5 \text{ м}$

$AC \approx 45.7 \text{ м}$

309. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8 см, а угол при вершине $72^\circ$. Найдите длину основания и биссектрисы треугольника, проведенной из вершины угла при основании.

Дано

В равнобедренном треугольнике $ABC$:

$AB = AC = 8 \text{ см}$ (боковые стороны)

$\angle BAC = 72^\circ$ (угол при вершине)

В СИ:

$AB = AC = 0.08 \text{ м}$

$\angle BAC = 72^\circ$

Найти:

Длину основания $BC$

Длину биссектрисы, проведенной из вершины угла при основании (например, $BD$)

Решение

Нахождение длины основания

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $B$ и $C$ равны. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$

Для нахождения длины основания $BC$ (обозначим ее $a$) воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$\frac{a}{\sin(72^\circ)} = \frac{8}{\sin(54^\circ)}$

Выразим $a$:

$a = \frac{8 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(54^\circ)}$

Используем приближенные значения синусов: $\sin(72^\circ) \approx 0.9510565$ и $\sin(54^\circ) \approx 0.8090170$.

$a \approx \frac{8 \cdot 0.9510565}{0.8090170} \approx \frac{7.608452}{0.8090170} \approx 9.4045 \text{ см}$

Округляем до двух знаков после запятой.

Ответ: $9.40 \text{ см}$

Нахождение длины биссектрисы

Пусть $BD$ - биссектриса угла $ABC$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.

Биссектриса $BD$ делит угол $ABC$ пополам:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$

Рассмотрим треугольник $ABD$. Нам известны следующие элементы:

Сторона $AB = 8 \text{ см}$

Угол $\angle BAD = \angle BAC = 72^\circ$

Угол $\angle ABD = 27^\circ$

Найдем третий угол треугольника $ABD$:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 72^\circ - 27^\circ = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABD$ для нахождения длины биссектрисы $BD$ (обозначим ее $l_b$):

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

$\frac{l_b}{\sin(72^\circ)} = \frac{8}{\sin(81^\circ)}$

Выразим $l_b$:

$l_b = \frac{8 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(81^\circ)}$

Используем приближенные значения синусов: $\sin(72^\circ) \approx 0.9510565$ и $\sin(81^\circ) \approx 0.9876883$.

$l_b \approx \frac{8 \cdot 0.9510565}{0.9876883} \approx \frac{7.608452}{0.9876883} \approx 7.7035 \text{ см}$

Округляем до двух знаков после запятой.

Ответ: $7.70 \text{ см}$

310. Найдите углы параллелограмма со сторонами a, b и диагональю d, если:
а) $d^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$;
б) квадрат его диагонали равен неполному квадрату разности двух его соседних сторон.

а) Дано

Параллелограмм со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$.

Дано соотношение: $d^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$.

Перевод в СИ

В данной задаче нет конкретных числовых значений и единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Углы параллелограмма.

Решение

Пусть $\alpha$ — один из углов параллелограмма (например, угол между сторонами $a$ и $b$). Тогда смежный с ним угол будет $180^\circ - \alpha$.

По теореме косинусов, квадрат диагонали $d$, лежащей напротив угла $\alpha$, выражается как:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

По условию задачи, нам дано другое выражение для $d^2$:

$d^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$

Приравняем эти два выражения для $d^2$:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$

Вычтем $a^2 + b^2$ из обеих частей уравнения:

$-2ab \cos(\alpha) = \sqrt{3} ab$

Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон параллелограмма, они строго положительны ($a > 0$, $b > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-2ab$:

$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3} ab}{-2ab}$

$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение косинуса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углу $150^\circ$.

Таким образом, один из углов параллелограмма $\alpha = 150^\circ$.

Смежный угол $\beta$ (второй угол параллелограмма) равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Углы параллелограмма попарно равны.

Ответ: Углы параллелограмма $30^\circ$ и $150^\circ$.

б) Дано

Параллелограмм со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$.

Квадрат его диагонали равен непольному квадрату разности двух его соседних сторон.

Неполный квадрат разности чисел $x$ и $y$ имеет вид $x^2 - xy + y^2$. В данном случае это $a^2 - ab + b^2$.

Значит, $d^2 = a^2 - ab + b^2$.

Перевод в СИ

В данной задаче нет конкретных числовых значений и единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Углы параллелограмма.

Решение

Пусть $\alpha$ — один из углов параллелограмма (например, угол между сторонами $a$ и $b$). Тогда смежный с ним угол будет $180^\circ - \alpha$.

По теореме косинусов, квадрат диагонали $d$, лежащей напротив угла $\alpha$, выражается как:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

По условию задачи, нам дано другое выражение для $d^2$:

$d^2 = a^2 - ab + b^2$

Приравняем эти два выражения для $d^2$:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) = a^2 - ab + b^2$

Вычтем $a^2 + b^2$ из обеих частей уравнения:

$-2ab \cos(\alpha) = -ab$

Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон параллелограмма, они строго положительны ($a > 0$, $b > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-2ab$:

$\cos(\alpha) = \frac{-ab}{-2ab}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

Значение косинуса $\frac{1}{2}$ соответствует углу $60^\circ$.

Таким образом, один из углов параллелограмма $\alpha = 60^\circ$.

Смежный угол $\beta$ (второй угол параллелограмма) равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Углы параллелограмма попарно равны.

Ответ: Углы параллелограмма $60^\circ$ и $120^\circ$.

311. a) Найдите стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см, а угол между диагоналями $45^\circ$.

б) Диагонали прямоугольника пересекаются под углом $70^\circ$, а его площадь равна $67.6 \text{ м}^2$. Найдите с точностью до $0,01$ м стороны прямоугольника.

а) Найдите стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см, а угол между диагоналями 45°.

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 10 \text{ см}$

Угол между диагоналями $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$

Площадь прямоугольника $S$

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $d$ - длина диагонали. Тогда половины диагоналей равны $d/2$.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d^2 \sin(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между диагоналями.

$S = \frac{1}{2} (10 \text{ см})^2 \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Для нахождения сторон прямоугольника рассмотрим треугольники, образованные половинами диагоналей и сторонами. Эти треугольники равнобедренные, так как половины диагоналей равны ($d/2$).

Пусть $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. Половина диагонали $d_x = d/2 = 10 \text{ см} / 2 = 5 \text{ см}$.

Используем теорему косинусов для стороны $a$, лежащей напротив угла $\alpha = 45^\circ$:

$a^2 = d_x^2 + d_x^2 - 2 d_x d_x \cos(\alpha)$

$a^2 = 2 d_x^2 (1 - \cos(\alpha))$

$a = d_x \sqrt{2(1 - \cos(\alpha))}$

$a = 5 \text{ см} \cdot \sqrt{2(1 - \cos(45^\circ))} = 5 \text{ см} \cdot \sqrt{2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} = 5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \text{ см}$.

Приблизительное значение: $a \approx 5 \cdot \sqrt{2 - 1.41421} \approx 5 \cdot \sqrt{0.58579} \approx 5 \cdot 0.76537 \approx 3.827 \text{ см}$.

Используем теорему косинусов для стороны $b$, лежащей напротив угла $180^\circ - \alpha = 135^\circ$:

$b^2 = d_x^2 + d_x^2 - 2 d_x d_x \cos(180^\circ - \alpha)$

$b^2 = 2 d_x^2 (1 + \cos(\alpha))$ (так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$)

$b = d_x \sqrt{2(1 + \cos(\alpha))}$

$b = 5 \text{ см} \cdot \sqrt{2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})} = 5 \sqrt{2 + \sqrt{2}} \text{ см}$.

Приблизительное значение: $b \approx 5 \cdot \sqrt{2 + 1.41421} \approx 5 \cdot \sqrt{3.41421} \approx 5 \cdot 1.84776 \approx 9.239 \text{ см}$.

Ответ: Стороны прямоугольника $a = 5\sqrt{2 - \sqrt{2}} \text{ см} \approx 3.83 \text{ см}$, $b = 5\sqrt{2 + \sqrt{2}} \text{ см} \approx 9.24 \text{ см}$. Площадь $S = 25\sqrt{2} \text{ см}^2 \approx 35.36 \text{ см}^2$.

б) Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 70°, а его площадь равна 67,6 м². Найдите с точностью до 0,01 м стороны прямоугольника.

Дано:

Угол между диагоналями $\theta = 70^\circ$

Площадь прямоугольника $S = 67.6 \text{ м}^2$

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в СИ.

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$ с точностью до $0.01 \text{ м}$.

Решение:

Воспользуемся формулой площади прямоугольника через диагонали и угол между ними. Диагонали прямоугольника равны, обозначим их $d$.

$S = \frac{1}{2} d^2 \sin(\theta)$

Отсюда выразим квадрат диагонали $d^2$:

$d^2 = \frac{2S}{\sin(\theta)}$

$d^2 = \frac{2 \cdot 67.6 \text{ м}^2}{\sin(70^\circ)} = \frac{135.2}{\sin(70^\circ)} \text{ м}^2$.

Теперь найдем стороны $a$ и $b$ прямоугольника. Используем формулы, полученные из теоремы косинусов для треугольников, образованных половинами диагоналей и сторонами. Если $d_x = d/2$ - половина диагонали, то:

$a = d_x \sqrt{2(1 - \cos(\theta))} = \frac{d}{2} \sqrt{4 \sin^2(\theta/2)} = d \sin(\theta/2)$.

$b = d_x \sqrt{2(1 + \cos(\theta))} = \frac{d}{2} \sqrt{4 \cos^2(\theta/2)} = d \cos(\theta/2)$.

Подставим выражение для $d$ и используем тригонометрические тождества:

$a = \sqrt{\frac{135.2}{\sin(70^\circ)}} \cdot \sin(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2}{2 \sin(35^\circ) \cos(35^\circ)}} \cdot \sin(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2 \sin(35^\circ)}{2 \cos(35^\circ)}} = \sqrt{67.6 \tan(35^\circ)}$.

$b = \sqrt{\frac{135.2}{\sin(70^\circ)}} \cdot \cos(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2}{2 \sin(35^\circ) \cos(35^\circ)}} \cdot \cos(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2 \cos(35^\circ)}{2 \sin(35^\circ)}} = \sqrt{67.6 \cot(35^\circ)}$.

Вычислим значения:

$\tan(35^\circ) \approx 0.7002075$

$\cot(35^\circ) \approx 1.4281480$

$a \approx \sqrt{67.6 \cdot 0.7002075} \approx \sqrt{47.334057} \approx 6.879975 \text{ м}$.

$b \approx \sqrt{67.6 \cdot 1.4281480} \approx \sqrt{96.538565} \approx 9.825404 \text{ м}$.

Округлим до 0.01 м:

$a \approx 6.88 \text{ м}$.

$b \approx 9.83 \text{ м}$.

Ответ: Стороны прямоугольника $a \approx 6.88 \text{ м}$, $b \approx 9.83 \text{ м}$.

312. a) Найдите с точностью до $1\text{ см}^2$ площадь равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен $120^\circ$, а радиус вписанной в него окружности – 5 см.

б) Площадь равнобедренного треугольника равна $1\text{ дм}^2$, а угол при его основании – $40^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 дм радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

а) Найдите с точностью до 1 см² площадь равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен 120°, а радиус вписанной в него окружности – 5 см.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол при вершине $\alpha = 120^\circ$.

Радиус вписанной окружности $r = 5$ см.

Найти:

Площадь $S$ с точностью до $1$ см$^2$.

Решение:

Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны $\beta$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$. Тогда $\alpha + 2\beta = 180^\circ$, откуда $2\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, и $\beta = 30^\circ$.

Для равнобедренного треугольника с углом при основании $\beta$ и радиусом вписанной окружности $r$, площадь $S$ можно найти по формуле: $S = r^2 \cot(\alpha/2) \cot^2(\beta/2)$, где $\alpha$ - угол при вершине.

В нашем случае $\alpha = 120^\circ$, значит $\alpha/2 = 60^\circ$. Угол при основании $\beta = 30^\circ$, значит $\beta/2 = 15^\circ$. Радиус $r = 5$ см.

Вычислим значения котангенсов:$\cot(60^\circ) = \frac{1}{\tan(60^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.$\cot(15^\circ) = \frac{1}{\tan(15^\circ)}$.Значение $\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$:$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.Тогда $\cot(15^\circ) = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь подставим эти значения в формулу для площади $S$:$S = r^2 \cot(\alpha/2) \cot^2(\beta/2) = 5^2 \cdot \cot(60^\circ) \cdot \cot^2(15^\circ)$.$S = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (2 + \sqrt{3})^2$.$S = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (4 + 4\sqrt{3} + 3)$.$S = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (7 + 4\sqrt{3}) = 25 \left( \frac{7}{\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)$.$S = 25 \left( \frac{7\sqrt{3}}{3} + 4 \right) = \frac{175\sqrt{3}}{3} + 100$.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:$S \approx 100 + \frac{175 \cdot 1.73205}{3} = 100 + \frac{303.10875}{3} \approx 100 + 101.03625 = 201.03625$ см$^2$.

Округлим до $1$ см$^2$: $S \approx 201$ см$^2$.

Ответ: $201$ см$^2$

б) Площадь равнобедренного треугольника равна 1 дм², а угол при его основании – 40°. Найдите с точностью до 0,1 дм радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Площадь $S = 1$ дм$^2$.

Угол при основании $\beta = 40^\circ$.

Найти:

Радиус вписанной окружности $r$ с точностью до $0.1$ дм.

Решение:

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\alpha$. Тогда $\alpha = 180^\circ - 2\beta = 180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Используем ту же формулу, что и в части (а): $S = r^2 \cot(\alpha/2) \cot^2(\beta/2)$.

Подставим известные значения: $S = 1$ дм$^2$, $\alpha/2 = 100^\circ/2 = 50^\circ$, $\beta/2 = 40^\circ/2 = 20^\circ$.$1 = r^2 \cot(50^\circ) \cot^2(20^\circ)$.

Выразим $r^2$:$r^2 = \frac{1}{\cot(50^\circ) \cot^2(20^\circ)}$.

Используем тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$:$r^2 = \frac{1}{\frac{1}{\tan(50^\circ)} \cdot \frac{1}{\tan^2(20^\circ)}} = \tan(50^\circ) \tan^2(20^\circ)$.

Тогда $r = \sqrt{\tan(50^\circ) \tan^2(20^\circ)} = \tan(20^\circ) \sqrt{\tan(50^\circ)}$.

Вычислим приближенные значения:$\tan(20^\circ) \approx 0.36397023$.$\tan(50^\circ) \approx 1.19175359$.$\sqrt{\tan(50^\circ)} \approx \sqrt{1.19175359} \approx 1.091674$.

Теперь вычислим $r$:$r \approx 0.36397023 \cdot 1.091674 \approx 0.397334$ дм.

Округлим до $0.1$ дм: $r \approx 0.4$ дм.

Ответ: $0.4$ дм