Страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность?

2. Сформулируйте и докажите свойство углов вписанного в окружность четырехугольника.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, вписанного в окружность.

1. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность?

Решение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его четыре вершины лежат на этой окружности.

Ответ: Четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

2. Сформулируйте и докажите свойство углов вписанного в окружность четырехугольника.

Решение

Свойство: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность с центром $O$.

Рассмотрим противоположные углы $A$ и $C$.

Угол $A$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BCD$. Следовательно, его мера равна половине градусной меры этой дуги: $\angle A = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD$.

Угол $C$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BAD$. Следовательно, его мера равна половине градусной меры этой дуги: $\angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BAD$.

Сумма дуг $BCD$ и $BAD$ составляет всю окружность, то есть $360^\circ$.

Таким образом, $\text{дуга } BCD + \text{дуга } BAD = 360^\circ$.

Тогда сумма углов $A$ и $C$ равна:

$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD + \frac{1}{2} \text{дуги } BAD = \frac{1}{2} (\text{дуги } BCD + \text{дуги } BAD) = \frac{1}{2} (360^\circ) = 180^\circ$.

Аналогично, для противоположных углов $B$ и $D$:

Угол $B$ опирается на дугу $ADC$, поэтому $\angle B = \frac{1}{2} \text{дуги } ADC$.

Угол $D$ опирается на дугу $ABC$, поэтому $\angle D = \frac{1}{2} \text{дуги } ABC$.

Сумма дуг $ADC$ и $ABC$ составляет $360^\circ$.

Следовательно, $\angle B + \angle D = \frac{1}{2} (\text{дуги } ADC + \text{дуги } ABC) = \frac{1}{2} (360^\circ) = 180^\circ$.

Таким образом, сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Доказано.

Ответ: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$. Доказательство приведено выше.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, вписанного в окружность.

Решение

Признак: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то этот четырехугольник можно вписать в окружность.

Доказательство:

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, у которого $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Возьмем три вершины четырехугольника $A$, $B$, $D$. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. Проведем окружность через точки $A$, $B$, $D$.

Предположим, что вершина $C$ не лежит на этой окружности.

Случай 1: Точка $C$ лежит внутри окружности.

Продлим отрезок $BC$ до пересечения с окружностью в точке $C'$. Тогда четырехугольник $ABC'D$ является вписанным в окружность.

По свойству углов вписанного четырехугольника (доказанному в пункте 2), сумма противоположных углов $ABC'D$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$.

По условию нам дано, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle C = \angle BC'D$.

Однако, в треугольнике $CC'D$, угол $BCD$ (который есть $\angle C$) является внешним углом по отношению к углу $BC'D$ (который есть $\angle C'D$).

Следовательно, $\angle C = \angle BC'D + \angle CDC'$.

Это означает, что $\angle C > \angle BC'D$.

Получаем противоречие: $\angle C = \angle BC'D$ и $\angle C > \angle BC'D$. Значит, точка $C$ не может лежать внутри окружности.

Случай 2: Точка $C$ лежит вне окружности.

Проведем отрезок $BC$ до его пересечения с окружностью в точке $C'$. Тогда четырехугольник $ABC'D$ является вписанным в окружность.

По свойству углов вписанного четырехугольника, $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$.

По условию нам дано, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle C = \angle BC'D$.

Однако, в треугольнике $CC'D$, угол $BC'D$ (который есть $\angle C'$) является внешним углом по отношению к углу $BCD$ (который есть $\angle C$).

Следовательно, $\angle BC'D = \angle C + \angle CDC'$.

Это означает, что $\angle BC'D > \angle C$.

Получаем противоречие: $\angle C = \angle BC'D$ и $\angle BC'D > \angle C$. Значит, точка $C$ не может лежать вне окружности.

Поскольку точка $C$ не может находиться ни внутри, ни вне окружности, она должна лежать на окружности.

Таким образом, если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то этот четырехугольник можно вписать в окружность. Доказано.

Ответ: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то этот четырехугольник можно вписать в окружность. Доказательство приведено выше.

315. Можно ли описать окружность около четырехугольника,

углы которого, взятые последовательно, относятся как числа:

а) $2 : 2 : 3 : 3$;

б) $2 : 5 : 3 : 4$;

в) $3 : 5 : 3 : 1$?

Дано:

Отношения углов четырехугольника.

Найти:

Можно ли описать окружность около данного четырехугольника.

Решение:

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Пусть углы четырехугольника, взятые последовательно, относятся как $k_1 : k_2 : k_3 : k_4$. Тогда углы можно представить как $A = k_1 x$, $B = k_2 x$, $C = k_3 x$, $D = k_4 x$, где $x$ — некоторая константа.

Сумма всех углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, $(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)x = 360^\circ$.

Для того чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, должны выполняться условия:

$A + C = 180^\circ \implies k_1 x + k_3 x = 180^\circ \implies (k_1 + k_3)x = 180^\circ$

$B + D = 180^\circ \implies k_2 x + k_4 x = 180^\circ \implies (k_2 + k_4)x = 180^\circ$

Из этих условий следует, что $k_1 + k_3 = k_2 + k_4$. Также, сумма этих двух выражений дает $(k_1+k_2+k_3+k_4)x = 360^\circ$. Таким образом, условие сводится к тому, что сумма частей отношения противоположных углов должна быть равна половине общей суммы частей отношения всех углов. Пусть $S = k_1 + k_2 + k_3 + k_4$. Тогда условие выполнимо, если $k_1 + k_3 = S/2$ и $k_2 + k_4 = S/2$.

а) 2 : 2 : 3 : 3

Данные коэффициенты отношений углов: $k_1 = 2$, $k_2 = 2$, $k_3 = 3$, $k_4 = 3$.

Найдем сумму всех частей отношения: $S = 2 + 2 + 3 + 3 = 10$.

Проверим суммы противоположных частей отношения:

$k_1 + k_3 = 2 + 3 = 5$

$k_2 + k_4 = 2 + 3 = 5$

Так как $k_1 + k_3 = 5$, $k_2 + k_4 = 5$, и $S/2 = 10/2 = 5$, условие $k_1 + k_3 = S/2$ и $k_2 + k_4 = S/2$ выполняется.

Ответ: Да, можно.

б) 2 : 5 : 3 : 4

Данные коэффициенты отношений углов: $k_1 = 2$, $k_2 = 5$, $k_3 = 3$, $k_4 = 4$.

Найдем сумму всех частей отношения: $S = 2 + 5 + 3 + 4 = 14$.

Проверим суммы противоположных частей отношения:

$k_1 + k_3 = 2 + 3 = 5$

$k_2 + k_4 = 5 + 4 = 9$

Так как $k_1 + k_3 = 5$ и $k_2 + k_4 = 9$, они не равны между собой, а также не равны $S/2 = 14/2 = 7$. Условие не выполняется.

Ответ: Нет, нельзя.

в) 3 : 5 : 3 : 1

Данные коэффициенты отношений углов: $k_1 = 3$, $k_2 = 5$, $k_3 = 3$, $k_4 = 1$.

Найдем сумму всех частей отношения: $S = 3 + 5 + 3 + 1 = 12$.

Проверим суммы противоположных частей отношения:

$k_1 + k_3 = 3 + 3 = 6$

$k_2 + k_4 = 5 + 1 = 6$

Так как $k_1 + k_3 = 6$, $k_2 + k_4 = 6$, и $S/2 = 12/2 = 6$, условие $k_1 + k_3 = S/2$ и $k_2 + k_4 = S/2$ выполняется.

Ответ: Да, можно.

316. a) Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если два его противоположных угла относятся как $3:5$, а два других – как $4:5$.

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если точки A, B, C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся соответственно как $17:21:19:15$.

а) Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если два его противоположных угла относятся как 3 : 5, а два других — как 4 : 5.

Дано:

Вписанный в окружность четырехугольник.

Отношение первой пары противоположных углов: $\alpha_1 : \alpha_2 = 3 : 5$.

Отношение второй пары противоположных углов: $\alpha_3 : \alpha_4 = 4 : 5$.

Найти:

Величины всех углов четырехугольника.

Решение:

Свойство вписанного в окружность четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Пусть $\alpha_1, \alpha_2$ — первая пара противоположных углов, а $\alpha_3, \alpha_4$ — вторая пара.

Для первой пары углов:

Дано отношение $\alpha_1 : \alpha_2 = 3 : 5$. Это означает, что $\alpha_1 = 3k$ и $\alpha_2 = 5k$ для некоторого коэффициента $k$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 180^\circ$

$3k + 5k = 180^\circ$

$8k = 180^\circ$

$k = \frac{180}{8} = 22.5^\circ$

Тогда углы первой пары:

$\alpha_1 = 3 \times 22.5^\circ = 67.5^\circ$

$\alpha_2 = 5 \times 22.5^\circ = 112.5^\circ$

Для второй пары углов:

Дано отношение $\alpha_3 : \alpha_4 = 4 : 5$. Это означает, что $\alpha_3 = 4m$ и $\alpha_4 = 5m$ для некоторого коэффициента $m$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника:

$\alpha_3 + \alpha_4 = 180^\circ$

$4m + 5m = 180^\circ$

$9m = 180^\circ$

$m = \frac{180}{9} = 20^\circ$

Тогда углы второй пары:

$\alpha_3 = 4 \times 20^\circ = 80^\circ$

$\alpha_4 = 5 \times 20^\circ = 100^\circ$

Ответ: $67.5^\circ, 112.5^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если точки A, B, C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся соответственно как 17 : 21 : 19 : 15.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

Точки $A, B, C, D$ делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся соответственно как $\text{arc AB} : \text{arc BC} : \text{arc CD} : \text{arc DA} = 17 : 21 : 19 : 15$.

Найти:

Величины углов четырехугольника $A, B, C, D$.

Решение:

Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$. Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности.

Тогда градусные меры дуг: $17k, 21k, 19k, 15k$.

$17k + 21k + 19k + 15k = 360^\circ$

$(17 + 21 + 19 + 15)k = 360^\circ$

$72k = 360^\circ$

$k = \frac{360}{72} = 5^\circ$

Найдем градусные меры каждой дуги:

$\text{arc AB} = 17 \times 5^\circ = 85^\circ$

$\text{arc BC} = 21 \times 5^\circ = 105^\circ$

$\text{arc CD} = 19 \times 5^\circ = 95^\circ$

$\text{arc DA} = 15 \times 5^\circ = 75^\circ$

Угол, вписанный в окружность, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $A$ (угол $DAB$) опирается на дугу $BCD$:

$\text{arc BCD} = \text{arc BC} + \text{arc CD} = 105^\circ + 95^\circ = 200^\circ$

$\angle A = \frac{1}{2} \text{arc BCD} = \frac{1}{2} \times 200^\circ = 100^\circ$

Угол $B$ (угол $ABC$) опирается на дугу $CDA$:

$\text{arc CDA} = \text{arc CD} + \text{arc DA} = 95^\circ + 75^\circ = 170^\circ$

$\angle B = \frac{1}{2} \text{arc CDA} = \frac{1}{2} \times 170^\circ = 85^\circ$

Угол $C$ (угол $BCD$) опирается на дугу $DAB$:

$\text{arc DAB} = \text{arc DA} + \text{arc AB} = 75^\circ + 85^\circ = 160^\circ$

$\angle C = \frac{1}{2} \text{arc DAB} = \frac{1}{2} \times 160^\circ = 80^\circ$

Угол $D$ (угол $CDA$) опирается на дугу $ABC$:

$\text{arc ABC} = \text{arc AB} + \text{arc BC} = 85^\circ + 105^\circ = 190^\circ$

$\angle D = \frac{1}{2} \text{arc ABC} = \frac{1}{2} \times 190^\circ = 95^\circ$

Ответ: Углы четырехугольника $ABCD$ равны: $\angle A = 100^\circ, \angle B = 85^\circ, \angle C = 80^\circ, \angle D = 95^\circ$.

317. В четырехугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, $\angle A = 60^{\circ}$, а угол $B$ на $20 \%$ больше угла $A$. Найдите неизвестные углы четырехугольника $ABCD$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.
Угол $A = 60^\circ$.
Угол $B$ на $20\%$ больше угла $A$.

Перевод в СИ:

Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для геометрических задач, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Неизвестные углы четырехугольника $ABCD$: $\angle B, \angle C, \angle D$.

Решение:

По условию задачи, угол $A$ равен $60^\circ$. Угол $B$ на $20\%$ больше угла $A$. Это можно записать как:
$\angle B = \angle A + 0.20 \cdot \angle A$
$\angle B = \angle A (1 + 0.20)$
$\angle B = 1.2 \cdot \angle A$
Подставим значение угла $A$:
$\angle B = 1.2 \cdot 60^\circ = 72^\circ$

По свойству четырехугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны $180^\circ$. То есть:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Найдем угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A$
$\angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Найдем угол $D$:
$\angle D = 180^\circ - \angle B$
$\angle D = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$

Ответ:

$\angle B = 72^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 108^\circ$.

318. Точка $A$ делит дугу $BC$ данной окружности на две равные дуги. Из этой точки проведены хорды $AD$ и $AK$, пересекающие хорду $BC$ соответственно в точках $M$ и $N$. Докажите, что около четырехугольника $DKNM$ можно описать окружность.

Дано:

• Окружность с точками $A, B, C, D, K$ на ней.
• Точка $A$ делит дугу $BC$ на две равные дуги, т.е. $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC)$.
• Хорды $AD$ и $AK$ проведены из точки $A$.
• Хорда $AD$ пересекает хорду $BC$ в точке $M$.
• Хорда $AK$ пересекает хорду $BC$ в точке $N$.

Найти:
Доказать, что около четырехугольника $DKNM$ можно описать окружность.

Решение:
Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность (т.е. чтобы он был вписанным), необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна $180^\circ$. Рассмотрим четырехугольник $DKNM$. Его вершины перечислены в порядке следования, поэтому противоположными углами являются $\angle KDN$ и $\angle KNM$, а также $\angle DKN$ и $\angle DNM$. Докажем, что $\angle KDN + \angle KNM = 180^\circ$.

1. Рассмотрим угол $\angle KDN$. Этот угол является углом $\angle KDA$. Поскольку точки $K, D, A$ лежат на окружности, $\angle KDA$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $KA$.
Следовательно, $m(\angle KDA) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA)$.

2. Рассмотрим угол $\angle KNM$. Точка $N$ является точкой пересечения хорд $AK$ и $BC$. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме мер дуг, заключенных между сторонами этого угла. Угол $\angle KNM$ является углом $\angle KNB$ (если $N$ находится между $B$ и $C$) или $\angle KNC$ (если $N$ находится вне отрезка $BC$). Пусть для общности $\angle KNM$ это угол $\angle ANB$ или его смежный. Согласно свойству, угол $\angle ANB$ равен полусумме дуг $AB$ и $KC$.
$m(\angle KNM) = m(\angle ANB) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.

3. По условию задачи, точка $A$ делит дугу $BC$ на две равные дуги, что означает $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC)$. Обозначим эту меру дуги через $\alpha$: $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC) = \alpha$.

4. Подставим это в выражение для $\angle KNM$:
$m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (\alpha + m(\text{дуга } KC))$.

5. Теперь найдем сумму противоположных углов $\angle KDN$ и $\angle KNM$:
$m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) + \frac{1}{2} (\alpha + m(\text{дуга } KC))$.
$m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } KA) + \alpha + m(\text{дуга } KC))$.

6. Заменим $\alpha$ на $m(\text{дуга } AB)$:
$m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.

7. Рассмотрим сумму дуг в скобках: $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$. Эти три дуги, взятые последовательно, составляют всю окружность, если точки $K, A, B, C$ расположены на окружности таким образом, что путь от $K$ к $A$, затем от $A$ к $B$, и затем от $B$ к $C$, а затем от $C$ к $K$ покрывает всю окружность.
Однако, если мы просто суммируем меры дуг, которые покрывают всю окружность: $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BK) = 360^\circ$.
Нам нужно $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$.
Если точка $B$ лежит на дуге $KA$, то $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } KB) + m(\text{дуга } BA)$.
В этом случае, $m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} ((m(\text{дуга } KB) + m(\text{дуга } BA)) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.
Это не $360^\circ$.

Давайте пересмотрим. Угол $KDN$ это $KDA$. Угол $KNM$ это $KNA$.
$m(\angle KNM) = m(\angle ANK)$ (угол, образованный хордами $AK$ и $BC$).
$m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. (Это верно, $N$ - точка пересечения $AK$ и $BC$).
$m(\angle KDN) = m(\angle KDA) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA)$.
Сумма $m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.
Эта сумма дуг $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$ не обязательно равна $360^\circ$. Давайте используем другую пару противоположных углов: $\angle DKN$ и $\angle DMN$.
$\angle DKN$ это $\angle AKD$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу $AD$.
$m(\angle AKD) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } AD)$.
$\angle DMN$ это $\angle AMD$. Это угол между хордами $AD$ и $BC$, пересекающимися в $M$.
$m(\angle AMD) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AC) + m(\text{дуга } BD))$.
Тогда $m(\angle DKN) + m(\angle DMN) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } AD) + \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AC) + m(\text{дуга } BD))$.
Мы знаем, что $m(\text{дуга } AC) = m(\text{дуга } AB)$.
Значит, $m(\angle DKN) + m(\angle DMN) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AD) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BD))$.
Сумма $m(\text{дуга } AD) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BD)$ не обязательно равна $360^\circ$. Верный подход. Так как точка $A$ делит дугу $BC$ на две равные дуги, то $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC)$. Из этого следует, что равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги: $m(\angle ADB) = m(\angle AKC)$. $m(\angle ABC) = m(\angle ACB)$. Рассмотрим углы четырехугольника $DKNM$. Возьмем угол $\angle KNM$. Он является смежным с углом $\angle ANB$. $\angle KNM = 180^\circ - \angle ANB$. Угол $\angle ANB$ - это угол между хордами $AK$ и $BC$. $m(\angle ANB) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. Значит, $m(\angle KNM) = 180^\circ - \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. Рассмотрим угол $\angle KDM$. Это угол $\angle KDA$. Он является вписанным углом, опирающимся на дугу $KA$. $m(\angle KDA) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA)$. Нам нужно доказать, что $\angle KNM + \angle KDM = 180^\circ$. Подставим выражения для углов: $(180^\circ - \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))) + \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) = 180^\circ$. $-\frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)) + \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) = 0$. $\frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$. Эта формула сложения дуг $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BK)$ верна, если точка $B$ лежит на дуге $KA$. Однако, это $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$. Поскольку $m(\text{дуга } AC) = m(\text{дуга } AB)$, то $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AC) + m(\text{дуга } KC)$. Это равенство справедливо, так как дуга $KA$ состоит из дуги $KC$ и дуги $CA$, то есть $K \to C \to A$ образует дугу $KA$ (если $C$ лежит между $K$ и $A$ по окружности). Это утверждение всегда верно, если точки на окружности расположены в порядке $K, C, A$. То есть, если $K, C, A$ идут в одном направлении по окружности, то $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } KC) + m(\text{дуга } CA)$. И так как $m(\text{дуга } CA) = m(\text{дуга } AB)$, мы получаем $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } KC) + m(\text{дуга } AB)$. Таким образом, мы доказали, что сумма противоположных углов $\angle KNM$ и $\angle KDM$ равна $180^\circ$. Следовательно, около четырехугольника $DKNM$ можно описать окружность.

Ответ: Доказано.

319. a) Найдите периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если длина одного из оснований больше длины другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.

б) Трапеция ABCD вписана в окружность, причем ее основание AD является диаметром этой окружности, а хорда BC стягивает дугу в $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен $R$.

a) Найдите периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если длина одного из оснований больше длины другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.

Дано:

Прямоугольная трапеция $ABCD$ описана около окружности.

Длина одного из оснований больше длины другого на 6 см: $|a - b| = 6 \text{ см}$.

Радиус окружности: $r = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$|a - b| = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Периметр трапеции $P$.

Решение:

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны $c_1$ и $c_2$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является ее высотой. Пусть это будет сторона $c_1 = h$.

Если окружность вписана в трапецию, то ее диаметр равен высоте трапеции:

$h = 2r = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Таким образом, одна из боковых сторон трапеции $c_1 = 8 \text{ см}$.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется свойство: сумма длин противоположных сторон равна. То есть, $a + b = c_1 + c_2$.

Пусть $a$ - большее основание, $b$ - меньшее. Тогда $a - b = 6 \text{ см}$ по условию.

Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Длина отрезка большего основания, отсекаемого высотой, будет равна разности оснований. Обозначим этот отрезок как $x = a - b = 6 \text{ см}$.

Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, этим отрезком $x$, и второй боковой стороной $c_2$:

$c_2^2 = h^2 + x^2$

$c_2^2 = 8^2 + 6^2$

$c_2^2 = 64 + 36$

$c_2^2 = 100$

$c_2 = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Теперь, используя свойство для описанной трапеции $a + b = c_1 + c_2$:

$a + b = 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = a + b + c_1 + c_2$.

Так как $a + b = c_1 + c_2$, периметр можно записать как $P = 2(a + b)$ или $P = 2(c_1 + c_2)$.

$P = 2 \cdot 18 \text{ см} = 36 \text{ см}$.

Ответ: $36 \text{ см}$

б) Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, причем ее основание $AD$ является диаметром этой окружности, а хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен $R$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность.

Основание $AD$ является диаметром окружности.

Хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$.

Радиус окружности: $R$.

Найти:

Площадь трапеции $S_{ABCD}$.

Решение:

Если трапеция вписана в окружность, то она является равнобедренной.

Обозначим центр окружности через $O$. Поскольку $AD$ является диаметром, длина основания $AD = 2R$.

Хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту дугу, $\angle BOC = 60^\circ$.

Так как $OB$ и $OC$ - радиусы окружности, то $OB = OC = R$.

Треугольник $BOC$ равнобедренный, и угол при его вершине $O$ равен $60^\circ$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равносторонним.

Таким образом, длина хорды $BC$ равна радиусу: $BC = R$.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Высота трапеции - это перпендикулярное расстояние между параллельными основаниями $AD$ и $BC$. Поскольку $AD$ является диаметром, а трапеция равнобедренная, $BC$ параллельна $AD$.

Опустим перпендикуляр из центра $O$ на хорду $BC$. Пусть $M$ - точка пересечения этого перпендикуляра с $BC$. $OM$ является высотой равностороннего треугольника $BOC$.

Длина высоты $OM$ в равностороннем треугольнике со стороной $R$ может быть найдена по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle OMB$ (где $BM = BC/2 = R/2$):

$OM^2 = OB^2 - BM^2$

$OM^2 = R^2 - (R/2)^2$

$OM^2 = R^2 - R^2/4$

$OM^2 = 3R^2/4$

$OM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Эта длина $OM$ и является высотой трапеции $h = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть длины обоих оснований: $a = AD = 2R$ и $b = BC = R$.

И высота трапеции: $h = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S = \frac{2R + R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{3R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$