Страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

313. a) Папа решил разбить и огородить клумбу формы треугольника с углом $150^{\circ}$ и площадью $4 \, \text{м}^2$, примыкающую к стене дома большей стороной. Какова может быть наименьшая длина изгороди?

б) Девятиклассникам было поручено разбить на пришкольном участке треугольную клумбу наименьшего периметра, площадь которой $9 \, \text{м}^2$, а один из ее углов – $120^{\circ}$. Найдите с точностью до $0,1 \, \text{м}$ периметр такой клумбы.

a)

Дано:

Треугольная клумба.

Один угол $\alpha = 150^\circ$.

Площадь $S = 4 \text{ м}^2$.

Одна сторона примыкает к стене дома (самая длинная).

Найти:

Наименьшая длина изгороди $L_{min}$.

Решение:

Пусть стороны треугольника, образующие угол $\alpha = 150^\circ$, равны $b$ и $c$.

Площадь треугольника задается формулой $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$.

Подставим известные значения:

$4 = \frac{1}{2}bc \sin 150^\circ$

Мы знаем, что $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Значит, $4 = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{1}{2}$

$4 = \frac{1}{4}bc$

$bc = 16$.

Сторона, примыкающая к стене дома, является самой длинной. В треугольнике самая длинная сторона лежит напротив самого большого угла. Поскольку один из углов равен $150^\circ$, он является наибольшим углом в треугольнике (сумма углов треугольника $180^\circ$, остальные два угла будут острыми).

Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $150^\circ$, это и есть самая длинная сторона. Эта сторона примыкает к стене и не требует изгороди.

Изгородь будет устанавливаться по двум другим сторонам треугольника, длины которых $b$ и $c$.

Длина изгороди $L = b + c$.

Нам нужно найти наименьшее значение $L = b+c$ при условии $bc = 16$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM):

Для неотрицательных чисел $b$ и $c$ справедливо: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$.

Отсюда $b+c \ge 2\sqrt{bc}$.

Минимальное значение $b+c$ достигается, когда $b=c$.

В нашем случае $bc = 16$, значит, $b=c=\sqrt{16}=4$ м.

Минимальная длина изгороди $L_{min} = 4 + 4 = 8$ м.

Проверим, действительно ли при $b=c=4$ м сторона $a$ (напротив угла $150^\circ$) является наибольшей.

По теореме косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos 150^\circ$.

$a^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 16 + 16 - 32 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 32 + 16\sqrt{3}$

$a = \sqrt{32 + 16\sqrt{3}} \approx \sqrt{32 + 16 \times 1.732} = \sqrt{32 + 27.712} = \sqrt{59.712} \approx 7.73 \text{ м}$.

Так как $7.73 > 4$, сторона $a$ действительно самая длинная.

Ответ: 8 м.

б)

Дано:

Треугольная клумба.

Площадь $S = 9 \text{ м}^2$.

Один угол $\gamma = 120^\circ$.

Найти:

Наименьший периметр $P_{min}$ с точностью до $0,1 \text{ м}$.

Решение:

Пусть стороны треугольника, образующие угол $\gamma = 120^\circ$, равны $a$ и $b$, а сторона, противоположная этому углу, равна $c$.

Площадь треугольника задается формулой $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Подставим известные значения:

$9 = \frac{1}{2}ab \sin 120^\circ$

Мы знаем, что $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значит, $9 = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9 = \frac{\sqrt{3}}{4}ab$

$ab = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$.

Периметр треугольника $P = a+b+c$.

По теореме косинусов для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Мы знаем, что $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{1}{2}\right)$

$c^2 = a^2 + b^2 + ab$.

Таким образом, $c = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Периметр $P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Чтобы периметр был наименьшим при фиксированной площади и одном угле, треугольник должен быть равнобедренным, то есть стороны, образующие заданный угол, должны быть равны: $a=b$.

Это следует из того, что для фиксированного произведения $ab$ сумма $a+b$ минимальна, когда $a=b$ (по неравенству AM-GM: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$). Также выражение $a^2+b^2+ab$ будет минимальным, когда $a=b$, так как $a^2+b^2 \ge 2ab$, и при $a=b$ $a^2+b^2=2ab$. Соответственно, и $c = \sqrt{a^2+b^2+ab}$ будет минимальным. Следовательно, и периметр будет минимальным.

Примем $a=b$. Тогда из $ab = 12\sqrt{3}$ получаем $a^2 = 12\sqrt{3}$.

$a = \sqrt{12\sqrt{3}}$ м.

Теперь найдем $c$:

$c = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

$c = \sqrt{12\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}$.

Периметр $P = a+b+c = a+a+a\sqrt{3} = 2a + a\sqrt{3} = a(2+\sqrt{3})$.

Подставим значение $a$:

$P = \sqrt{12\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})$.

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{3} \approx 1.7320508$

$12\sqrt{3} \approx 12 \times 1.7320508 = 20.7846096$

$a = \sqrt{20.7846096} \approx 4.5590169$

$2+\sqrt{3} \approx 2 + 1.7320508 = 3.7320508$

$P \approx 4.5590169 \times 3.7320508 \approx 17.00901 \text{ м}$.

Округляем до $0,1 \text{ м}$:

$P \approx 17.0 \text{ м}$.

Ответ: 17.0 м.

314. 1A) В треугольнике $ABC \angle ABC = 80^\circ$, $\angle BCA = 40^\circ$, $BC = 2\sqrt{3}$ м. Найдите неизвестные стороны треугольника с точностью до 0,01 м.

2A) Найдите углы треугольника со сторонами 9 м, 12 м и 12 м.

3B) Площадь треугольника равна $3\sqrt{3}$ дм$^2$, а две его стороны равны 3 дм и 4 дм. Найдите третью сторону треугольника.

4C) Стороны треугольника равны 3 см, 6 см и $\sqrt{45}$ см. Найдите его: 1) биссектрису, проведенную из вершины большего угла; 2) медиану, проведенную из вершины меньшего угла.

1A)

Дано

треугольник ABC

$\angle ABC = 80^\circ$

$\angle BCA = 40^\circ$

$BC = 2\sqrt{3}$ м

Найти:

неизвестные стороны $AC$ и $AB$

Решение

1. Найдем третий угол треугольника:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ$.

2. Применим теорему синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$, где $a, b, c$ - стороны, противолежащие углам $A, B, C$ соответственно.

3. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее $b$):

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 80^\circ}$

$AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 80^\circ}{\sin 60^\circ}$

Поскольку $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 80^\circ}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \sin 80^\circ \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot \sin 80^\circ$

Используя значение $\sin 80^\circ \approx 0.9848$, находим:

$AC \approx 4 \cdot 0.9848 = 3.9392$ м. Округляем до 0,01 м: $AC \approx 3.94$ м.

4. Найдем сторону $AB$ (обозначим ее $c$):

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 40^\circ}$

$AB = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ}$

$AB = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 40^\circ}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 \cdot \sin 40^\circ$

Используя значение $\sin 40^\circ \approx 0.6428$, находим:

$AB \approx 4 \cdot 0.6428 = 2.5712$ м. Округляем до 0,01 м: $AB \approx 2.57$ м.

Ответ: $AC \approx 3.94$ м, $AB \approx 2.57$ м.

2A)

Дано

Стороны треугольника: $a = 9$ м, $b = 12$ м, $c = 12$ м.

Найти:

Углы треугольника ($\angle A, \angle B, \angle C$)

Решение

Поскольку две стороны равны ($b=c=12$ м), треугольник является равнобедренным. Углы, лежащие против равных сторон, равны, т.е. $\angle B = \angle C$.

1. Найдем угол $A$ (противолежащий стороне $a=9$ м) по теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$9^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos A$

$81 = 144 + 144 - 288 \cos A$

$81 = 288 - 288 \cos A$

$288 \cos A = 288 - 81$

$288 \cos A = 207$

$\cos A = \frac{207}{288} = \frac{23}{32}$

$\angle A = \arccos\left(\frac{23}{32}\right) \approx 44.05^\circ$.

2. Найдем углы $B$ и $C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2\angle B = 180^\circ - \angle A$

$2\angle B = 180^\circ - 44.05^\circ$

$2\angle B = 135.95^\circ$

$\angle B = \angle C = \frac{135.95^\circ}{2} = 67.975^\circ \approx 67.98^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $44.05^\circ$, $67.98^\circ$, $67.98^\circ$.

3B)

Дано

Площадь треугольника $S = 3\sqrt{3}$ дм$^2$.

Две стороны $a = 3$ дм, $b = 4$ дм.

Найти:

Третью сторону $c$.

Перевод в СИ:

$S = 3\sqrt{3}$ дм$^2 = 0.03\sqrt{3}$ м$^2$

$a = 3$ дм $= 0.3$ м

$b = 4$ дм $= 0.4$ м

Решение

1. Используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $C$ - угол между сторонами $a$ и $b$.

$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin C$

$3\sqrt{3} = 6 \sin C$

$\sin C = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Возможны два значения для угла $C$, при которых синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $C_1 = 60^\circ$ или $C_2 = 120^\circ$.

3. Найдем третью сторону $c$ с помощью теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

**Случай 1: $C = 60^\circ$**

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 9 + 16 - 12$

$c^2 = 25 - 12 = 13$

$c = \sqrt{13}$ дм.

**Случай 2: $C = 120^\circ$**

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$

$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$c^2 = 9 + 16 + 12$

$c^2 = 25 + 12 = 37$

$c = \sqrt{37}$ дм.

Оба решения являются математически допустимыми.

Ответ: Третья сторона треугольника равна $\sqrt{13}$ дм или $\sqrt{37}$ дм.

4C)

Дано

Стороны треугольника: $a = 3$ см, $b = 6$ см, $c = \sqrt{45}$ см.

Заметим, что $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Перевод в СИ:

$a = 3$ см $= 0.03$ м

$b = 6$ см $= 0.06$ м

$c = \sqrt{45}$ см $= 0.01\sqrt{45}$ м

Найти:

1) биссектрису, проведенную из вершины большего угла;

2) медиану, проведенную из вершины меньшего угла.

Решение

Сначала определим, какие углы являются большим и меньшим. Больший угол лежит напротив большей стороны, меньший - напротив меньшей.

Сравним длины сторон: $a=3$, $b=6$, $c=3\sqrt{5} \approx 3 \cdot 2.236 = 6.708$.

Таким образом, наименьшая сторона - $a=3$ см (напротив нее лежит $\angle A$, меньший угол). Наибольшая сторона - $c=3\sqrt{5}$ см (напротив нее лежит $\angle C$, больший угол).

1) биссектрису, проведенную из вершины большего угла

Больший угол - это $\angle C$. Найдем его с помощью теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$(\sqrt{45})^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos C$

$45 = 9 + 36 - 36 \cos C$

$45 = 45 - 36 \cos C$

$0 = -36 \cos C \implies \cos C = 0$

Следовательно, $\angle C = 90^\circ$. Треугольник является прямоугольным.

Длина биссектрисы $l_C$ из вершины $C$ вычисляется по формуле: $l_C = \frac{2ab}{a+b} \cos\left(\frac{C}{2}\right)$.

$l_C = \frac{2 \cdot 3 \cdot 6}{3+6} \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right)$

$l_C = \frac{36}{9} \cos(45^\circ)$

$l_C = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$l_C = 2\sqrt{2}$ см.

2) медиану, проведенную из вершины меньшего угла

Меньший угол - это $\angle A$. Найдем длину медианы $m_A$ из вершины $A$ по формуле:

$m_A^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$m_A^2 = \frac{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot (\sqrt{45})^2 - 3^2}{4}$

$m_A^2 = \frac{2 \cdot 36 + 2 \cdot 45 - 9}{4}$

$m_A^2 = \frac{72 + 90 - 9}{4}$

$m_A^2 = \frac{162 - 9}{4}$

$m_A^2 = \frac{153}{4}$

$m_A = \sqrt{\frac{153}{4}} = \frac{\sqrt{153}}{2}$

Разложим $\sqrt{153}$: $\sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

$m_A = \frac{3\sqrt{17}}{2}$ см.

Ответ: 1) Биссектриса из вершины большего угла равна $2\sqrt{2}$ см. 2) Медиана из вершины меньшего угла равна $\frac{3\sqrt{17}}{2}$ см.