Страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

301. В равносторонний треугольник, периметр которого равен 27 см, вписана окружность. Затем построена вторая окружность, касающаяся первой и двух сторон этого треугольника. Найдите радиус второй окружности.

Дано:

Равносторонний треугольник.

Периметр треугольника $P = 27 \text{ см}$.

Первая окружность вписана в треугольник (радиус $r_1$).

Вторая окружность касается первой окружности и двух сторон треугольника (радиус $r_2$).

Перевод в СИ:

$P = 27 \text{ см} = 0.27 \text{ м}$.

Найти:

Радиус второй окружности $r_2$.

Решение:

1. Найдем длину стороны равностороннего треугольника. Для равностороннего треугольника периметр $P = 3a$, где $a$ - длина стороны.

$a = \frac{P}{3} = \frac{27 \text{ см}}{3} = 9 \text{ см}$.

2. Найдем радиус первой окружности ($r_1$), вписанной в равносторонний треугольник. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

3. Рассмотрим расположение центров окружностей. Центр первой вписанной окружности ($O_1$) совпадает с центроидом треугольника. Центр второй окружности ($O_2$), касающейся двух сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами. Поскольку треугольник равносторонний, биссектриса является также медианой и высотой.

Пусть A - вершина треугольника, к которой прилегают две стороны, касающиеся второй окружности. Центры $O_1$ и $O_2$ лежат на высоте, проведенной из вершины A.

Для равностороннего треугольника высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние от вершины A до центра вписанной окружности $O_1$ (центроида) равно $\frac{2}{3}$ высоты.

$AO_1 = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Подставим $a=9 \text{ см}$: $AO_1 = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

Также, $AO_1 = 2r_1 = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$. Это согласуется.

4. Рассмотрим вторую окружность с центром $O_2$ и радиусом $r_2$. Она касается двух сторон треугольника. Угол при вершине A равен $60^\circ$. Биссектриса этого угла делит его на два угла по $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном центром $O_2$, точкой касания на стороне и вершиной A, гипотенуза $AO_2$ связана с радиусом $r_2$ соотношением:

$\sin(30^\circ) = \frac{r_2}{AO_2} \implies AO_2 = \frac{r_2}{\sin(30^\circ)} = \frac{r_2}{1/2} = 2r_2$.

5. Вторая окружность касается первой окружности. Так как вторая окружность находится в "углу" треугольника и касается вписанной окружности, она расположена "выше" (ближе к вершине A) первой окружности. Центры $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой (биссектрисе из вершины A).

Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов, так как они касаются внешним образом: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.

Из расположения центров на биссектрисе следует: $AO_1 = AO_2 + O_1O_2$.

Подставим известные выражения:

$2r_1 = 2r_2 + (r_1 + r_2)$

$2r_1 = 3r_2 + r_1$

Отсюда получаем соотношение между радиусами:

$r_1 = 3r_2 \implies r_2 = \frac{r_1}{3}$.

6. Вычислим радиус второй окружности:

$r_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

302. a) В окружности радиуса $R$ на диаметре $AB$ отмечена точка $M$ на расстоянии $m$ от ее центра $O$. Проведена произвольная хорда $CD$, параллельная $AB$. Найдите сумму площадей двух квадратов со сторонами $CM$ и $DM$.

б) Высота $BH$ треугольника $ABC$ делит угол $B$ в отношении $2 : 1$, а сторону $AC$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $A$. Найдите угол $C$.

a)

Дано:

Окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

Диаметр $AB$.

Точка $M$ на диаметре $AB$, $OM = m$.

Хорда $CD \parallel AB$.

Найти:

Сумму площадей двух квадратов со сторонами $CM$ и $DM$, то есть $CM^2 + DM^2$.

Решение:

Поместим центр окружности $O$ в начало координат $(0,0)$. Пусть диаметр $AB$ лежит на оси $x$. Тогда координаты точек $A=(-R, 0)$ и $B=(R, 0)$.

Точка $M$ находится на диаметре $AB$ на расстоянии $m$ от центра $O$. Без потери общности, пусть $M = (m, 0)$.

Поскольку хорда $CD$ параллельна диаметру $AB$, расстояние от центра $O$ до хорды $CD$ является постоянным. Пусть $K$ - середина хорды $CD$. Тогда $OK \perp CD$. Так как $CD \parallel AB$, то $OK$ также перпендикулярно $AB$. Это означает, что точка $K$ лежит на оси $y$.

Пусть расстояние $OK = h$. Тогда координаты точки $K$ могут быть $(0, h)$ или $(0, -h)$. Выберем $K=(0, h)$.

Так как $C$ и $D$ лежат на окружности радиуса $R$ и на прямой $y=h$, их координаты $x_C$ и $x_D$ удовлетворяют уравнению $x^2 + h^2 = R^2$. Отсюда $x = \pm \sqrt{R^2 - h^2}$.

Пусть $C=(-\sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $D=(\sqrt{R^2 - h^2}, h)$.

Найдем квадрат длины отрезка $CM$ по формуле расстояния между двумя точками $CM^2 = (x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2$:

$CM^2 = (-\sqrt{R^2 - h^2} - m)^2 + (h - 0)^2$

$CM^2 = (\sqrt{R^2 - h^2} + m)^2 + h^2$

$CM^2 = (R^2 - h^2) + 2m\sqrt{R^2 - h^2} + m^2 + h^2$

$CM^2 = R^2 + m^2 + 2m\sqrt{R^2 - h^2}$.

Найдем квадрат длины отрезка $DM$:

$DM^2 = (\sqrt{R^2 - h^2} - m)^2 + (h - 0)^2$

$DM^2 = (R^2 - h^2) - 2m\sqrt{R^2 - h^2} + m^2 + h^2$

$DM^2 = R^2 + m^2 - 2m\sqrt{R^2 - h^2}$.

Теперь найдем сумму площадей двух квадратов со сторонами $CM$ и $DM$, то есть $CM^2 + DM^2$:

$CM^2 + DM^2 = (R^2 + m^2 + 2m\sqrt{R^2 - h^2}) + (R^2 + m^2 - 2m\sqrt{R^2 - h^2})$

$CM^2 + DM^2 = 2R^2 + 2m^2$.

Заметим, что расстояние $h$ от центра до хорды сократилось, что подтверждает "произвольность" хорды.

Ответ: $2R^2 + 2m^2$.

б)

Дано:

Треугольник $ABC$.

$BH$ - высота, $H \in AC$.

$\angle ABH : \angle HBC = 2 : 1$.

$AH : HC = 3 : 1$.

Найти:

$\angle C$.

Решение:

Пусть $\angle HBC = \alpha$. Тогда из условия $\angle ABH = 2\alpha$.

Так как $BH$ является высотой, $\triangle CBH$ и $\triangle ABH$ - прямоугольные треугольники с прямым углом при вершине $H$.

В прямоугольном $\triangle CBH$:

$\tan(\angle HBC) = \frac{HC}{BH} \implies \tan \alpha = \frac{HC}{BH}$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{HC}{\tan \alpha}$.

В прямоугольном $\triangle ABH$:

$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} \implies \tan(2\alpha) = \frac{AH}{BH}$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{AH}{\tan(2\alpha)}$.

Из условия $AH : HC = 3 : 1$ следует, что $AH = 3k$ и $HC = k$ для некоторой положительной константы $k$.

Приравняем два выражения для $BH$:

$\frac{HC}{\tan \alpha} = \frac{AH}{\tan(2\alpha)}$.

Подставим $AH=3k$ и $HC=k$:

$\frac{k}{\tan \alpha} = \frac{3k}{\tan(2\alpha)}$.

Так как $k \neq 0$, можем сократить $k$ с обеих сторон:

$\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{3}{\tan(2\alpha)}$.

Отсюда $\tan(2\alpha) = 3 \tan \alpha$.

Используем формулу двойного угла для тангенса: $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Подставим это в уравнение:

$\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = 3 \tan \alpha$.

Поскольку $\alpha$ - угол в прямоугольном треугольнике, $\alpha \neq 0$, следовательно $\tan \alpha \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\tan \alpha$:

$\frac{2}{1 - \tan^2 \alpha} = 3$.

$2 = 3(1 - \tan^2 \alpha)$.

$2 = 3 - 3 \tan^2 \alpha$.

$3 \tan^2 \alpha = 3 - 2$.

$3 \tan^2 \alpha = 1$.

$\tan^2 \alpha = \frac{1}{3}$.

Так как $\alpha$ является острым углом, $\tan \alpha$ должен быть положительным:

$\tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому $\alpha = 30^\circ$.

Теперь найдем угол $C$. В прямоугольном $\triangle CBH$ сумма острых углов равна $90^\circ$:

$\angle C + \angle HBC = 90^\circ$.

$\angle C + \alpha = 90^\circ$.

$\angle C + 30^\circ = 90^\circ$.

$\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

303. Даны две параллельные прямые и точка между ними. Постройте прямоугольный треугольник наименьшей площади с вершиной прямого угла в этой точке и двумя другими вершинами на данных прямых.

Дано

Две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$.

Точка $P$, расположенная между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Найти

Построить прямоугольный треугольник $PAB$ с вершиной прямого угла в точке $P$, такими что вершина $A$ лежит на прямой $l_1$, а вершина $B$ лежит на прямой $l_2$, и площадь треугольника $PAB$ является наименьшей.

Решение

Для определения условий, при которых площадь треугольника $PAB$ будет наименьшей, воспользуемся координатным методом.

Пусть точка $P$ находится в начале координат $(0,0)$.

Пусть прямая $l_1$ задается уравнением $y = h_1$, а прямая $l_2$ — уравнением $y = -h_2$, где $h_1 > 0$ - расстояние от $P$ до $l_1$, и $h_2 > 0$ - расстояние от $P$ до $l_2$. Ось $y$ перпендикулярна прямым $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $A$ лежит на прямой $l_1$, её координаты $A = (x_A, h_1)$.

Пусть точка $B$ лежит на прямой $l_2$, её координаты $B = (x_B, -h_2)$.

Поскольку угол $APB$ является прямым, векторы $\vec{PA}$ и $\vec{PB}$ ортогональны. Их скалярное произведение равно нулю.

Вектор $\vec{PA} = (x_A - 0, h_1 - 0) = (x_A, h_1)$.

Вектор $\vec{PB} = (x_B - 0, -h_2 - 0) = (x_B, -h_2)$.

Условие ортогональности: $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$, то есть $x_A x_B + h_1 (-h_2) = 0$.

Отсюда получаем $x_A x_B = h_1 h_2$.

Площадь $S$ треугольника $PAB$ определяется как $S = \frac{1}{2} |\vec{PA}| \cdot |\vec{PB}|$.

Длины сторон: $|\vec{PA}| = \sqrt{x_A^2 + h_1^2}$ и $|\vec{PB}| = \sqrt{x_B^2 + h_2^2}$.

Тогда $S = \frac{1}{2} \sqrt{(x_A^2 + h_1^2)(x_B^2 + h_2^2)}$.

Для минимизации площади $S$ достаточно минимизировать $S^2$. Подставим $x_B = \frac{h_1 h_2}{x_A}$ (отметим, что $x_A \neq 0$, так как $h_1 h_2 \neq 0$).

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) \left( \left(\frac{h_1 h_2}{x_A}\right)^2 + h_2^2 \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) \left( \frac{h_1^2 h_2^2}{x_A^2} + h_2^2 \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) h_2^2 \left( \frac{h_1^2}{x_A^2} + 1 \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} (x_A^2 + h_1^2) h_2^2 \frac{h_1^2 + x_A^2}{x_A^2}$

$S^2 = \frac{1}{4} \frac{h_2^2}{x_A^2} (x_A^2 + h_1^2)^2$

Извлекая квадратный корень (поскольку $S > 0$, $h_2 > 0$):

$S = \frac{1}{2} \frac{h_2}{|x_A|} (x_A^2 + h_1^2)$

Пусть $u = |x_A|$. Так как $x_A \neq 0$, то $u > 0$. Тогда выражение для площади принимает вид:

$S = \frac{h_2}{2} \left( u + \frac{h_1^2}{u} \right)$

Согласно неравенству о среднем арифметическом и геометрическом (AM-GM), для любых положительных чисел $a$ и $b$, $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

Применяя его к $u$ и $\frac{h_1^2}{u}$:

$u + \frac{h_1^2}{u} \ge 2 \sqrt{u \cdot \frac{h_1^2}{u}} = 2 \sqrt{h_1^2} = 2h_1$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $u = \frac{h_1^2}{u}$, что означает $u^2 = h_1^2$. Поскольку $u > 0$, получаем $u = h_1$.

Таким образом, минимальное значение $S$ достигается при $|x_A| = h_1$.

Минимальная площадь $S_{min} = \frac{h_2}{2} (2h_1) = h_1 h_2$.

Условие $|x_A|=h_1$ и $x_A x_B = h_1 h_2$ означает, что $|x_B|=h_2$, и $x_A$, $x_B$ должны иметь одинаковый знак.

Например, можно выбрать $x_A = h_1$ и $x_B = h_2$. В этом случае $A=(h_1, h_1)$ и $B=(h_2, -h_2)$.

Ответ

Алгоритм построения треугольника наименьшей площади:

1. Проведите прямую $k$ через точку $P$, перпендикулярную данным параллельным прямым $l_1$ и $l_2$.

2. Обозначьте точки пересечения прямой $k$ с прямой $l_1$ как $M_1$, а с прямой $l_2$ как $M_2$.

3. Измерьте расстояние от точки $P$ до $l_1$, это длина отрезка $PM_1$. Обозначим эту длину как $h_1$.

4. Измерьте расстояние от точки $P$ до $l_2$, это длина отрезка $PM_2$. Обозначим эту длину как $h_2$.

5. На прямой $l_1$ отложите от точки $M_1$ отрезок $M_1A$ длиной $h_1$. Выберите любое из двух возможных направлений (например, вправо от прямой $k$).

6. На прямой $l_2$ отложите от точки $M_2$ отрезок $M_2B$ длиной $h_2$ в том же направлении относительно прямой $k$, что и отрезок $M_1A$. То есть, если $A$ находится справа от прямой $k$, то $B$ также должен находиться справа от $k$; если $A$ слева от $k$, то $B$ также слева от $k$.

7. Соедините точки $P, A, B$. Полученный треугольник $PAB$ является искомым прямоугольным треугольником наименьшей площади.