Номер 302, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

302. a) В окружности радиуса $R$ на диаметре $AB$ отмечена точка $M$ на расстоянии $m$ от ее центра $O$. Проведена произвольная хорда $CD$, параллельная $AB$. Найдите сумму площадей двух квадратов со сторонами $CM$ и $DM$.

б) Высота $BH$ треугольника $ABC$ делит угол $B$ в отношении $2 : 1$, а сторону $AC$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $A$. Найдите угол $C$.

a)

Дано:

Окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

Диаметр $AB$.

Точка $M$ на диаметре $AB$, $OM = m$.

Хорда $CD \parallel AB$.

Найти:

Сумму площадей двух квадратов со сторонами $CM$ и $DM$, то есть $CM^2 + DM^2$.

Решение:

Поместим центр окружности $O$ в начало координат $(0,0)$. Пусть диаметр $AB$ лежит на оси $x$. Тогда координаты точек $A=(-R, 0)$ и $B=(R, 0)$.

Точка $M$ находится на диаметре $AB$ на расстоянии $m$ от центра $O$. Без потери общности, пусть $M = (m, 0)$.

Поскольку хорда $CD$ параллельна диаметру $AB$, расстояние от центра $O$ до хорды $CD$ является постоянным. Пусть $K$ - середина хорды $CD$. Тогда $OK \perp CD$. Так как $CD \parallel AB$, то $OK$ также перпендикулярно $AB$. Это означает, что точка $K$ лежит на оси $y$.

Пусть расстояние $OK = h$. Тогда координаты точки $K$ могут быть $(0, h)$ или $(0, -h)$. Выберем $K=(0, h)$.

Так как $C$ и $D$ лежат на окружности радиуса $R$ и на прямой $y=h$, их координаты $x_C$ и $x_D$ удовлетворяют уравнению $x^2 + h^2 = R^2$. Отсюда $x = \pm \sqrt{R^2 - h^2}$.

Пусть $C=(-\sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $D=(\sqrt{R^2 - h^2}, h)$.

Найдем квадрат длины отрезка $CM$ по формуле расстояния между двумя точками $CM^2 = (x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2$:

$CM^2 = (-\sqrt{R^2 - h^2} - m)^2 + (h - 0)^2$

$CM^2 = (\sqrt{R^2 - h^2} + m)^2 + h^2$

$CM^2 = (R^2 - h^2) + 2m\sqrt{R^2 - h^2} + m^2 + h^2$

$CM^2 = R^2 + m^2 + 2m\sqrt{R^2 - h^2}$.

Найдем квадрат длины отрезка $DM$:

$DM^2 = (\sqrt{R^2 - h^2} - m)^2 + (h - 0)^2$

$DM^2 = (R^2 - h^2) - 2m\sqrt{R^2 - h^2} + m^2 + h^2$

$DM^2 = R^2 + m^2 - 2m\sqrt{R^2 - h^2}$.

Теперь найдем сумму площадей двух квадратов со сторонами $CM$ и $DM$, то есть $CM^2 + DM^2$:

$CM^2 + DM^2 = (R^2 + m^2 + 2m\sqrt{R^2 - h^2}) + (R^2 + m^2 - 2m\sqrt{R^2 - h^2})$

$CM^2 + DM^2 = 2R^2 + 2m^2$.

Заметим, что расстояние $h$ от центра до хорды сократилось, что подтверждает "произвольность" хорды.

Ответ: $2R^2 + 2m^2$.

б)

Дано:

Треугольник $ABC$.

$BH$ - высота, $H \in AC$.

$\angle ABH : \angle HBC = 2 : 1$.

$AH : HC = 3 : 1$.

Найти:

$\angle C$.

Решение:

Пусть $\angle HBC = \alpha$. Тогда из условия $\angle ABH = 2\alpha$.

Так как $BH$ является высотой, $\triangle CBH$ и $\triangle ABH$ - прямоугольные треугольники с прямым углом при вершине $H$.

В прямоугольном $\triangle CBH$:

$\tan(\angle HBC) = \frac{HC}{BH} \implies \tan \alpha = \frac{HC}{BH}$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{HC}{\tan \alpha}$.

В прямоугольном $\triangle ABH$:

$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} \implies \tan(2\alpha) = \frac{AH}{BH}$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{AH}{\tan(2\alpha)}$.

Из условия $AH : HC = 3 : 1$ следует, что $AH = 3k$ и $HC = k$ для некоторой положительной константы $k$.

Приравняем два выражения для $BH$:

$\frac{HC}{\tan \alpha} = \frac{AH}{\tan(2\alpha)}$.

Подставим $AH=3k$ и $HC=k$:

$\frac{k}{\tan \alpha} = \frac{3k}{\tan(2\alpha)}$.

Так как $k \neq 0$, можем сократить $k$ с обеих сторон:

$\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{3}{\tan(2\alpha)}$.

Отсюда $\tan(2\alpha) = 3 \tan \alpha$.

Используем формулу двойного угла для тангенса: $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Подставим это в уравнение:

$\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = 3 \tan \alpha$.

Поскольку $\alpha$ - угол в прямоугольном треугольнике, $\alpha \neq 0$, следовательно $\tan \alpha \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\tan \alpha$:

$\frac{2}{1 - \tan^2 \alpha} = 3$.

$2 = 3(1 - \tan^2 \alpha)$.

$2 = 3 - 3 \tan^2 \alpha$.

$3 \tan^2 \alpha = 3 - 2$.

$3 \tan^2 \alpha = 1$.

$\tan^2 \alpha = \frac{1}{3}$.

Так как $\alpha$ является острым углом, $\tan \alpha$ должен быть положительным:

$\tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому $\alpha = 30^\circ$.

Теперь найдем угол $C$. В прямоугольном $\triangle CBH$ сумма острых углов равна $90^\circ$:

$\angle C + \angle HBC = 90^\circ$.

$\angle C + \alpha = 90^\circ$.

$\angle C + 30^\circ = 90^\circ$.

$\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.