Номер 307, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

307. Найдите неизвестную сторону и углы $ \Delta ABC $, если $ AB = 3 $ см, $ AC = 5 $ см, $ \angle A = 60^\circ $.

Дано:

$AB = 3 \text{ см}$

$AC = 5 \text{ см}$

$\angle A = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$AC = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\angle A = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$BC$

$\angle B$

$\angle C$

Решение:

Для нахождения неизвестной стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае, для стороны $BC$:

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos \angle A$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

Вычислим значения. Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$BC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 34 - 15$

$BC^2 = 19$

Отсюда находим длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{19} \text{ см}$

Теперь найдем углы $\angle B$ и $\angle C$. Воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянным для данного треугольника:

$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle C}$

Найдем $\angle C$ используя отношение $\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C}$:

$\sin \angle C = \frac{AB \cdot \sin \angle A}{BC}$

Подставим известные значения, зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin \angle C = \frac{3 \cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{19}}$

$\sin \angle C = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{19}}$

$\sin \angle C = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{57}}{38}$

Точное значение угла $\angle C$:

$\angle C = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{57}}{38}\right)$

Приближенное значение $\frac{3\sqrt{57}}{38} \approx 0.5959$. Тогда:

$\angle C \approx 36.58^\circ$

Для нахождения угла $\angle B$ воспользуемся свойством, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

Подставим известные и найденные значения:

$\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 36.58^\circ$

$\angle B = 120^\circ - 36.58^\circ$

$\angle B \approx 83.42^\circ$

Ответ:

Неизвестная сторона $BC = \sqrt{19} \text{ см} \approx 4.36 \text{ см}$.

Угол $\angle B \approx 83.42^\circ$.

Угол $\angle C \approx 36.58^\circ$.