Номер 311, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

311. a) Найдите стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см, а угол между диагоналями $45^\circ$.

б) Диагонали прямоугольника пересекаются под углом $70^\circ$, а его площадь равна $67.6 \text{ м}^2$. Найдите с точностью до $0,01$ м стороны прямоугольника.

а) Найдите стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см, а угол между диагоналями 45°.

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 10 \text{ см}$

Угол между диагоналями $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$

Площадь прямоугольника $S$

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $d$ - длина диагонали. Тогда половины диагоналей равны $d/2$.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d^2 \sin(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между диагоналями.

$S = \frac{1}{2} (10 \text{ см})^2 \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Для нахождения сторон прямоугольника рассмотрим треугольники, образованные половинами диагоналей и сторонами. Эти треугольники равнобедренные, так как половины диагоналей равны ($d/2$).

Пусть $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. Половина диагонали $d_x = d/2 = 10 \text{ см} / 2 = 5 \text{ см}$.

Используем теорему косинусов для стороны $a$, лежащей напротив угла $\alpha = 45^\circ$:

$a^2 = d_x^2 + d_x^2 - 2 d_x d_x \cos(\alpha)$

$a^2 = 2 d_x^2 (1 - \cos(\alpha))$

$a = d_x \sqrt{2(1 - \cos(\alpha))}$

$a = 5 \text{ см} \cdot \sqrt{2(1 - \cos(45^\circ))} = 5 \text{ см} \cdot \sqrt{2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} = 5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \text{ см}$.

Приблизительное значение: $a \approx 5 \cdot \sqrt{2 - 1.41421} \approx 5 \cdot \sqrt{0.58579} \approx 5 \cdot 0.76537 \approx 3.827 \text{ см}$.

Используем теорему косинусов для стороны $b$, лежащей напротив угла $180^\circ - \alpha = 135^\circ$:

$b^2 = d_x^2 + d_x^2 - 2 d_x d_x \cos(180^\circ - \alpha)$

$b^2 = 2 d_x^2 (1 + \cos(\alpha))$ (так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$)

$b = d_x \sqrt{2(1 + \cos(\alpha))}$

$b = 5 \text{ см} \cdot \sqrt{2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})} = 5 \sqrt{2 + \sqrt{2}} \text{ см}$.

Приблизительное значение: $b \approx 5 \cdot \sqrt{2 + 1.41421} \approx 5 \cdot \sqrt{3.41421} \approx 5 \cdot 1.84776 \approx 9.239 \text{ см}$.

Ответ: Стороны прямоугольника $a = 5\sqrt{2 - \sqrt{2}} \text{ см} \approx 3.83 \text{ см}$, $b = 5\sqrt{2 + \sqrt{2}} \text{ см} \approx 9.24 \text{ см}$. Площадь $S = 25\sqrt{2} \text{ см}^2 \approx 35.36 \text{ см}^2$.

б) Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 70°, а его площадь равна 67,6 м². Найдите с точностью до 0,01 м стороны прямоугольника.

Дано:

Угол между диагоналями $\theta = 70^\circ$

Площадь прямоугольника $S = 67.6 \text{ м}^2$

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в СИ.

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$ с точностью до $0.01 \text{ м}$.

Решение:

Воспользуемся формулой площади прямоугольника через диагонали и угол между ними. Диагонали прямоугольника равны, обозначим их $d$.

$S = \frac{1}{2} d^2 \sin(\theta)$

Отсюда выразим квадрат диагонали $d^2$:

$d^2 = \frac{2S}{\sin(\theta)}$

$d^2 = \frac{2 \cdot 67.6 \text{ м}^2}{\sin(70^\circ)} = \frac{135.2}{\sin(70^\circ)} \text{ м}^2$.

Теперь найдем стороны $a$ и $b$ прямоугольника. Используем формулы, полученные из теоремы косинусов для треугольников, образованных половинами диагоналей и сторонами. Если $d_x = d/2$ - половина диагонали, то:

$a = d_x \sqrt{2(1 - \cos(\theta))} = \frac{d}{2} \sqrt{4 \sin^2(\theta/2)} = d \sin(\theta/2)$.

$b = d_x \sqrt{2(1 + \cos(\theta))} = \frac{d}{2} \sqrt{4 \cos^2(\theta/2)} = d \cos(\theta/2)$.

Подставим выражение для $d$ и используем тригонометрические тождества:

$a = \sqrt{\frac{135.2}{\sin(70^\circ)}} \cdot \sin(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2}{2 \sin(35^\circ) \cos(35^\circ)}} \cdot \sin(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2 \sin(35^\circ)}{2 \cos(35^\circ)}} = \sqrt{67.6 \tan(35^\circ)}$.

$b = \sqrt{\frac{135.2}{\sin(70^\circ)}} \cdot \cos(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2}{2 \sin(35^\circ) \cos(35^\circ)}} \cdot \cos(35^\circ) = \sqrt{\frac{135.2 \cos(35^\circ)}{2 \sin(35^\circ)}} = \sqrt{67.6 \cot(35^\circ)}$.

Вычислим значения:

$\tan(35^\circ) \approx 0.7002075$

$\cot(35^\circ) \approx 1.4281480$

$a \approx \sqrt{67.6 \cdot 0.7002075} \approx \sqrt{47.334057} \approx 6.879975 \text{ м}$.

$b \approx \sqrt{67.6 \cdot 1.4281480} \approx \sqrt{96.538565} \approx 9.825404 \text{ м}$.

Округлим до 0.01 м:

$a \approx 6.88 \text{ м}$.

$b \approx 9.83 \text{ м}$.

Ответ: Стороны прямоугольника $a \approx 6.88 \text{ м}$, $b \approx 9.83 \text{ м}$.