Номер 305, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

305. В $\Delta ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$; высота $BD = 3\sqrt{2}$ см. Найдите стороны треугольника.

Дано
В треугольнике $\triangle ABC$:
$\angle A = 30^\circ$
$\angle B = 45^\circ$
Высота $BD = 3\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ
$\angle A = 30^\circ$
$\angle B = 45^\circ$
$BD = 3\sqrt{2} \text{ см} = 3\sqrt{2} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти
Стороны $AB$, $BC$, $AC$.

Решение
1. Определим тип треугольника $ABC$, найдя угол $\angle C$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
Поскольку угол $\angle C$ тупой ($105^\circ > 90^\circ$), высота $BD$ (опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$) падает на продолжение стороны $AC$ за вершину $C$. Таким образом, точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle ADB = 90^\circ$).
Нам известны $\angle A = 30^\circ$ и противолежащий катет $BD = 3\sqrt{2}$ см.
Найдем гипотенузу $AB$:
$\sin A = \frac{BD}{AB}$
$AB = \frac{BD}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{0.5} = 6\sqrt{2}$ см.
Найдем катет $AD$:
$\tan A = \frac{BD}{AD}$
$AD = \frac{BD}{\tan A} = \frac{3\sqrt{2}}{\tan 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBD$ ($\angle CDB = 90^\circ$).
Угол $\angle BCD$ является смежным с углом $\angle ACB$ треугольника $ABC$.
$\angle BCD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
Найдем гипотенузу $BC$:
$\sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC}$
Для вычисления $\sin 75^\circ$ используем формулу $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$:
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
$BC = \frac{BD}{\sin 75^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
$BC = \frac{12\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12\sqrt{12} - 12\sqrt{4}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{12 \cdot 2\sqrt{3} - 12 \cdot 2}{6 - 2} = \frac{24\sqrt{3} - 24}{4} = 6\sqrt{3} - 6$ см.
Найдем катет $CD$:
$\tan(\angle BCD) = \frac{BD}{CD}$
Для вычисления $\tan 75^\circ$ используем формулу $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$:
$\tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1/\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 1)/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
$CD = \frac{BD}{\tan 75^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{2 + \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$CD = \frac{3\sqrt{2}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{4 - 3} = 6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}$ см.

4. Найдем сторону $AC$.
Поскольку точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$, то $AD = AC + CD$.
Отсюда $AC = AD - CD$.
$AC = 3\sqrt{6} - (6\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) = 3\sqrt{6} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$ см.

Ответ:
Стороны треугольника: $AB = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 6\sqrt{3} - 6$ см, $AC = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$ см.