Номер 299, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

299. Найдите с точностью до $0,1 \text{ см}^2$ площадь прямоугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle A = 60^\circ$, а расстояние от его внутренней точки $M$ до сторон $AB, BC \text{ и } AC$ соответственно равны 3 см, 4 см и 5 см.

Дано

Прямоугольный треугольник $ABC$.

Угол $\angle A = 60^\circ$.

Расстояния от внутренней точки $M$ до сторон треугольника:

до стороны $AB$: $h_{AB} = 3 \text{ см}$

до стороны $BC$: $h_{BC} = 4 \text{ см}$

до стороны $AC$: $h_{AC} = 5 \text{ см}$

Все данные уже в сантиметрах, поэтому перевод в систему СИ для конечного результата в $\text{см}^2$ не требуется.

Найти:

Площадь треугольника $ABC$, $S_{ABC}$, с точностью до $0.1 \text{ см}^2$.

Решение

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным и $\angle A = 60^\circ$, угол $A$ не может быть прямым (так как если бы $\angle A = 90^\circ$, то сумма двух других острых углов была бы $0^\circ$, что невозможно). Следовательно, прямой угол может быть либо при вершине $B$, либо при вершине $C$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Прямой угол при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$)

В этом случае третий угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Обозначим длины сторон: $AC = b$, $BC = a$, $AB = c$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$a = BC = AC \cdot \tan A = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$.

$c = AB = AC / \cos A = b / \cos 60^\circ = b / (1/2) = 2b$.

Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена как сумма площадей трех треугольников $MAB$, $MBC$ и $MAC$, образованных точкой $M$ и вершинами треугольника:

$S_{ABC} = S_{MAB} + S_{MBC} + S_{MAC}$.

Каждая из этих площадей равна половине произведения длины соответствующей стороны на расстояние от точки $M$ до этой стороны:

$S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} c \cdot 3$.

$S_{MBC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} a \cdot 4$.

$S_{MAC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{AC} = \frac{1}{2} b \cdot 5$.

Подставим выражения для $a$ и $c$ через $b$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (2b \cdot 3 + b\sqrt{3} \cdot 4 + b \cdot 5) = \frac{1}{2} b (6 + 4\sqrt{3} + 5) = \frac{1}{2} b (11 + 4\sqrt{3})$.

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} b \cdot a = \frac{1}{2} b (b\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} b^2$.

Приравняем два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} b^2 = \frac{1}{2} b (11 + 4\sqrt{3})$

Поскольку $b \ne 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}b$:

$\sqrt{3} b = 11 + 4\sqrt{3}$

$b = \frac{11 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{11}{\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{11\sqrt{3}}{3} + 4$.

Теперь подставим значение $b$ в формулу площади $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} b^2$:

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{11\sqrt{3}}{3} + 4\right)^2$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{11\sqrt{3} + 12}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(11\sqrt{3} + 12)^2}{9}$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} ((11\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 11\sqrt{3} \cdot 12 + 12^2)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (121 \cdot 3 + 264\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (363 + 264\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (507 + 264\sqrt{3})$

$S_{ABC} = \frac{507\sqrt{3}}{18} + \frac{264\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{18} = \frac{169\sqrt{3}}{6} + \frac{264 \cdot 3}{18}$

$S_{ABC} = \frac{169\sqrt{3}}{6} + 44$.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{ABC} \approx \frac{169 \cdot 1.73205}{6} + 44 \approx \frac{292.51645}{6} + 44 \approx 48.75274 + 44 \approx 92.75274 \text{ см}^2$.

Округляем до $0.1 \text{ см}^2$: $92.8 \text{ см}^2$.

Ответ: $92.8 \text{ см}^2$.

Случай 2: Прямой угол при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$)

В этом случае третий угол $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Обозначим длины сторон: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$a = BC = AB \cdot \tan A = c \tan 60^\circ = c\sqrt{3}$.

$b = AC = AB / \cos A = c / \cos 60^\circ = c / (1/2) = 2c$.

Площадь треугольника $ABC$ как сумма площадей $MAB$, $MBC$ и $MAC$:

$S_{ABC} = S_{MAB} + S_{MBC} + S_{MAC}$.

$S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} c \cdot 3$.

$S_{MBC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} a \cdot 4$.

$S_{MAC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{AC} = \frac{1}{2} b \cdot 5$.

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $c$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (c \cdot 3 + c\sqrt{3} \cdot 4 + 2c \cdot 5) = \frac{1}{2} c (3 + 4\sqrt{3} + 10) = \frac{1}{2} c (13 + 4\sqrt{3})$.

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} c \cdot a = \frac{1}{2} c (c\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} c^2$.

Приравняем два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} c^2 = \frac{1}{2} c (13 + 4\sqrt{3})$

Поскольку $c \ne 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}c$:

$\sqrt{3} c = 13 + 4\sqrt{3}$

$c = \frac{13 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3} + 4$.

Теперь подставим значение $c$ в формулу площади $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} c^2$:

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{13\sqrt{3}}{3} + 4\right)^2$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{13\sqrt{3} + 12}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(13\sqrt{3} + 12)^2}{9}$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} ((13\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 13\sqrt{3} \cdot 12 + 12^2)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (169 \cdot 3 + 312\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (507 + 312\sqrt{3} + 144)$

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{18} (651 + 312\sqrt{3})$

$S_{ABC} = \frac{651\sqrt{3}}{18} + \frac{312\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{18} = \frac{217\sqrt{3}}{6} + \frac{312 \cdot 3}{18}$

$S_{ABC} = \frac{217\sqrt{3}}{6} + 52$.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{ABC} \approx \frac{217 \cdot 1.73205}{6} + 52 \approx \frac{376.03585}{6} + 52 \approx 62.67264 + 52 \approx 114.67264 \text{ см}^2$.

Округляем до $0.1 \text{ см}^2$: $114.7 \text{ см}^2$.

Ответ: $114.7 \text{ см}^2$.