Номер 296, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

296. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $5\sqrt{5}$ см, а катет – 5 см. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.

Гипотенуза $c = AB = 5\sqrt{5}$ см.

Катет $a = BC = 5$ см.

Перевод в СИ:

Гипотенуза $c = 5\sqrt{5} \text{ см} = 5\sqrt{5} \times 10^{-2} \text{ м}$.

Катет $a = 5 \text{ см} = 5 \times 10^{-2} \text{ м}$.

Найти:

Длину биссектрисы $L_C$, проведенной из вершины прямого угла (вершины C).

Решение:

1. Найдем длину второго катета $b$ (AC) с помощью теоремы Пифагора.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника справедливо соотношение: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения:

$(5 \text{ см})^2 + b^2 = (5\sqrt{5} \text{ см})^2$

$25 \text{ см}^2 + b^2 = 25 \times 5 \text{ см}^2$

$25 \text{ см}^2 + b^2 = 125 \text{ см}^2$

$b^2 = 125 \text{ см}^2 - 25 \text{ см}^2$

$b^2 = 100 \text{ см}^2$

Извлекаем квадратный корень:

$b = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$.

Таким образом, длины катетов треугольника равны $a = 5$ см и $b = 10$ см.

2. Найдем длину биссектрисы прямого угла.

Длина биссектрисы $L_C$ (или $L_c$) прямого угла в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ может быть найдена по формуле:

$L_c = \frac{\sqrt{2}ab}{a+b}$

Подставим значения $a = 5$ см и $b = 10$ см в формулу:

$L_c = \frac{\sqrt{2} \times 5 \text{ см} \times 10 \text{ см}}{5 \text{ см} + 10 \text{ см}}$

$L_c = \frac{50\sqrt{2} \text{ см}^2}{15 \text{ см}}$

Сократим дробь на общий множитель 5:

$L_c = \frac{10\sqrt{2}}{3} \text{ см}$.

Ответ:

Длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла, равна $\frac{10\sqrt{2}}{3}$ см.