Номер 295, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

295. В треугольнике $ABC$ известны сумма сторон $BC$ и $AC$ и углы $A$ и $B$. Можно ли по этим данным найти стороны треугольника? Ответ объясните.

Дано:

В треугольнике $ABC$ известны:
Сумма сторон $BC$ и $AC$: $BC + AC = S$ (где $S$ — известная сумма)
Угол $A$: $\angle A = \alpha$
Угол $B$: $\angle B = \beta$

Найти:

Стороны треугольника $ABC$: $BC$, $AC$, $AB$.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = \gamma = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.
Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ известны, угол $\gamma$ также может быть определен.

2. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$. Пусть $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.
Согласно теореме синусов:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

3. Выразим стороны $a$ и $b$ через сторону $c$ и известные углы:
Из $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$ следует $a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma}$.
Из $\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ следует $b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma}$.

4. Подставим эти выражения в известное условие $a + b = S$:
$\frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} + \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = S$
Вынесем $c$ за скобки:
$c \left( \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \gamma} \right) = S$

5. Из полученного уравнения выразим сторону $c$ ($AB$):
$c = S \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha + \sin \beta}$
Так как $S$ (известная сумма), $\alpha$ и $\beta$ (известные углы) заданы, а $\gamma$ (третий угол) может быть вычислен из $\alpha$ и $\beta$, то значение $c$ может быть однозначно определено.

6. После того как сторона $c$ найдена, мы можем найти стороны $a$ ($BC$) и $b$ ($AC$):
$a = c \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$
$b = c \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}$
Поскольку значения $c$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ известны, значения сторон $a$ и $b$ также могут быть однозначно определены.

Таким образом, по заданным данным можно найти все стороны треугольника.

Ответ:

Да, по этим данным можно найти стороны треугольника.