Номер 301, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

301. В равносторонний треугольник, периметр которого равен 27 см, вписана окружность. Затем построена вторая окружность, касающаяся первой и двух сторон этого треугольника. Найдите радиус второй окружности.

Дано:

Равносторонний треугольник.

Периметр треугольника $P = 27 \text{ см}$.

Первая окружность вписана в треугольник (радиус $r_1$).

Вторая окружность касается первой окружности и двух сторон треугольника (радиус $r_2$).

Перевод в СИ:

$P = 27 \text{ см} = 0.27 \text{ м}$.

Найти:

Радиус второй окружности $r_2$.

Решение:

1. Найдем длину стороны равностороннего треугольника. Для равностороннего треугольника периметр $P = 3a$, где $a$ - длина стороны.

$a = \frac{P}{3} = \frac{27 \text{ см}}{3} = 9 \text{ см}$.

2. Найдем радиус первой окружности ($r_1$), вписанной в равносторонний треугольник. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

3. Рассмотрим расположение центров окружностей. Центр первой вписанной окружности ($O_1$) совпадает с центроидом треугольника. Центр второй окружности ($O_2$), касающейся двух сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами. Поскольку треугольник равносторонний, биссектриса является также медианой и высотой.

Пусть A - вершина треугольника, к которой прилегают две стороны, касающиеся второй окружности. Центры $O_1$ и $O_2$ лежат на высоте, проведенной из вершины A.

Для равностороннего треугольника высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние от вершины A до центра вписанной окружности $O_1$ (центроида) равно $\frac{2}{3}$ высоты.

$AO_1 = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Подставим $a=9 \text{ см}$: $AO_1 = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

Также, $AO_1 = 2r_1 = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$. Это согласуется.

4. Рассмотрим вторую окружность с центром $O_2$ и радиусом $r_2$. Она касается двух сторон треугольника. Угол при вершине A равен $60^\circ$. Биссектриса этого угла делит его на два угла по $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном центром $O_2$, точкой касания на стороне и вершиной A, гипотенуза $AO_2$ связана с радиусом $r_2$ соотношением:

$\sin(30^\circ) = \frac{r_2}{AO_2} \implies AO_2 = \frac{r_2}{\sin(30^\circ)} = \frac{r_2}{1/2} = 2r_2$.

5. Вторая окружность касается первой окружности. Так как вторая окружность находится в "углу" треугольника и касается вписанной окружности, она расположена "выше" (ближе к вершине A) первой окружности. Центры $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой (биссектрисе из вершины A).

Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов, так как они касаются внешним образом: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.

Из расположения центров на биссектрисе следует: $AO_1 = AO_2 + O_1O_2$.

Подставим известные выражения:

$2r_1 = 2r_2 + (r_1 + r_2)$

$2r_1 = 3r_2 + r_1$

Отсюда получаем соотношение между радиусами:

$r_1 = 3r_2 \implies r_2 = \frac{r_1}{3}$.

6. Вычислим радиус второй окружности:

$r_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.