Номер 294, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

294. Внутри угла, равного $60^\circ$, дана точка, расстояния от которой до сторон угла равны 2 см и 5 см. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла.

Дано:

Угол $A = 60^\circ$.
Расстояние от точки $P$ до одной стороны угла $h_1 = 2 \text{ см}$.
Расстояние от точки $P$ до другой стороны угла $h_2 = 5 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
Угол $A = 60^\circ$ (или $A = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}$).

Найти:

Расстояние от точки $P$ до вершины угла $AP$.

Решение:

Пусть вершина угла обозначена как $A$. Обозначим стороны угла как $AX$ и $AY$. Пусть $P$ - данная точка внутри угла. Проведем перпендикуляры из точки $P$ к сторонам угла: $PM_1 \perp AX$ и $PM_2 \perp AY$. По условию, длины этих перпендикуляров являются расстояниями до сторон угла, то есть $PM_1 = h_1 = 2 \text{ см}$ и $PM_2 = h_2 = 5 \text{ см}$. Нам необходимо найти расстояние от точки $P$ до вершины угла $AP$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle APM_1$ и $\triangle APM_2$. Гипотенуза $AP$ является общей для обоих треугольников. Пусть $\angle PAX = \alpha$. Так как весь угол $A$ равен $60^\circ$, то $\angle PAY = A - \alpha = 60^\circ - \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle APM_1$ (с прямым углом при $M_1$): $PM_1 = AP \sin(\angle PAX)$
$h_1 = AP \sin(\alpha)$ (1)

Из прямоугольного треугольника $\triangle APM_2$ (с прямым углом при $M_2$): $PM_2 = AP \sin(\angle PAY)$
$h_2 = AP \sin(A - \alpha)$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{h_2}{h_1} = \frac{AP \sin(A - \alpha)}{AP \sin(\alpha)}$
$\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sin(A - \alpha)}{\sin(\alpha)}$

Воспользуемся формулой синуса разности углов: $\sin(A - \alpha) = \sin(A)\cos(\alpha) - \cos(A)\sin(\alpha)$. Подставим это в уравнение: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sin(A)\cos(\alpha) - \cos(A)\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
Разделим числитель на $\sin(\alpha)$: $\frac{h_2}{h_1} = \sin(A)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \cos(A)\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
$\frac{h_2}{h_1} = \sin(A)\cot(\alpha) - \cos(A)$

Выразим $\cot(\alpha)$: $\sin(A)\cot(\alpha) = \frac{h_2}{h_1} + \cos(A)$
$\cot(\alpha) = \frac{1}{\sin(A)}\left(\frac{h_2}{h_1} + \cos(A)\right)$
$\cot(\alpha) = \frac{h_2 + h_1\cos(A)}{h_1\sin(A)}$

Подставим численные значения: $h_1 = 2 \text{ см}$, $h_2 = 5 \text{ см}$, $A = 60^\circ$. Значения тригонометрических функций для $60^\circ$: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $\cot(\alpha) = \frac{5 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\cot(\alpha) = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Теперь найдем $\sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$: $\frac{1}{\sin^2(\alpha)} = 1 + (2\sqrt{3})^2 = 1 + (4 \cdot 3) = 1 + 12 = 13$
$\sin^2(\alpha) = \frac{1}{13}$
Поскольку $\alpha$ является острым углом (частью угла в $60^\circ$), $\sin(\alpha)$ будет положительным: $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе: $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Теперь найдем $AP$ из уравнения (1): $AP = \frac{h_1}{\sin(\alpha)}$
$AP = \frac{2 \text{ см}}{\frac{\sqrt{13}}{13}} = \frac{2 \cdot 13}{\sqrt{13}} \text{ см} = \frac{26}{\sqrt{13}} \text{ см}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе: $AP = \frac{26\sqrt{13}}{13} \text{ см} = 2\sqrt{13} \text{ см}$.

Переведем результат в систему СИ: $AP = 2\sqrt{13} \text{ см} = 2\sqrt{13} \cdot 0.01 \text{ м} = 0.02\sqrt{13} \text{ м}$.

Ответ:

Расстояние от точки до вершины угла равно $2\sqrt{13} \text{ см}$ (приблизительно $7.21 \text{ см}$), или $0.02\sqrt{13} \text{ м}$ (приблизительно $0.0721 \text{ м}$).