Номер 288, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

288. В $ΔABC$ $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $AN$ – высота, $M$ – середина стороны $AB$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$.

Дано:

Треугольник $ABC$, со сторонами: $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

$AN$ — высота треугольника $ABC$.

$M$ — середина стороны $AB$.

Перевод в СИ:

$AB = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$BC = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$AC = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$, $R_{AMN}$.

Решение:

1. Для начала найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}$.

Площадь $S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$.

$S_{ABC} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2$.

2. Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, найдем длину высоты $AN$. Высота $AN$ проведена к стороне $BC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AN$.

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AN$.

$84 = 7 \cdot AN$.

$AN = \frac{84}{7} = 12 \text{ см}$.

3. Определим положение точки $N$ на стороне $BC$. Поскольку $AN$ — высота, $\angle ANB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ANB$ является прямоугольным треугольником.

По теореме Пифагора в $\triangle ANB$: $BN^2 = AB^2 - AN^2$.

$BN^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.

$BN = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Проверим, лежит ли точка $N$ на отрезке $BC$: $NC = BC - BN = 14 - 5 = 9 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $ANC$: $AC^2 = AN^2 + NC^2$.

$15^2 = 12^2 + 9^2 \implies 225 = 144 + 81 \implies 225 = 225$. Это подтверждает, что точка $N$ лежит на отрезке $BC$.

4. Рассмотрим треугольник $AMN$. Нам известны:

$AN = 12 \text{ см}$.

$M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ см}$.

Так как $\triangle ANB$ является прямоугольным треугольником ($\angle ANB = 90^\circ$), а $M$ — середина гипотенузы $AB$, то медиана $MN$, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

$MN = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ см}$.

Таким образом, стороны треугольника $AMN$ равны: $AM = 6.5 \text{ см}$, $AN = 12 \text{ см}$, $MN = 6.5 \text{ см}$.

Заметим, что $AM = MN$, следовательно, $\triangle AMN$ — равнобедренный.

5. Найдем площадь треугольника $AMN$. Треугольники $AMN$ и $ANB$ имеют общую высоту из вершины $N$ на прямую $AB$. Так как $AM = \frac{1}{2}AB$, то площадь $\triangle AMN$ составляет половину площади $\triangle ANB$.

Площадь $\triangle ANB = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$.

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot S_{ANB} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \text{ см}^2$.

6. Найдем радиус описанной окружности $R_{AMN}$ для $\triangle AMN$ по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

$R_{AMN} = \frac{AM \cdot AN \cdot MN}{4 \cdot S_{AMN}}$.

$R_{AMN} = \frac{6.5 \cdot 12 \cdot 6.5}{4 \cdot 15}$.

$R_{AMN} = \frac{\frac{13}{2} \cdot 12 \cdot \frac{13}{2}}{60}$.

$R_{AMN} = \frac{\frac{13 \cdot 12 \cdot 13}{4}}{60}$.

$R_{AMN} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 60}$.

$R_{AMN} = \frac{13 \cdot 13}{4 \cdot 5} = \frac{169}{20}$.

$R_{AMN} = 8.45 \text{ см}$.

Ответ:

Радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$, составляет $8.45$ см.