Номер 281, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

281. a) В окружность вписан треугольник со стороной, равной $2\sqrt{3}$ см и удаленной от центра окружности на 1 см. Найдите угол, лежащий против этой стороны.

б) Центр описанной около $\triangle ABC$ окружности лежит вне треугольника, а его угол $A$ - наибольший. Найдите $\angle A$, если $AB = 3$ м, $AC = 4$ м и $S_{\triangle ABC} = 3$ м$^2$.

а)

Дано:

Сторона треугольника $a = 2\sqrt{3}$ см

Расстояние от центра окружности до стороны $h = 1$ см

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{3}$ см $= 2\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$h = 1$ см $= 1 \times 10^{-2}$ м

Найти:

Угол $\alpha$, лежащий против стороны $a$.

Решение:

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды (стороны треугольника) $h$ и половина хорды $a/2$ связаны с радиусом $R$ теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и перпендикуляром из центра к хорде.

Половина стороны $a/2 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + (a/2)^2$.

$R^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

Следовательно, $R = \sqrt{4} = 2$ см.

По теореме синусов, для треугольника, вписанного в окружность, справедливо соотношение: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$, где $\alpha$ — угол, лежащий против стороны $a$.

Выразим $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{a}{2R}$

Подставим известные значения:

$\sin \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{2 \times 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Существуют два угла в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, синус которых равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $60^\circ$ и $120^\circ$.

Оба значения угла являются допустимыми для угла треугольника, и оба соответствуют заданной геометрии.

Рассмотрим центральный угол $\theta$, опирающийся на ту же хорду $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и перпендикуляром, угол, противолежащий $a/2$, равен $\theta/2$.

$\sin(\theta/2) = \frac{a/2}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\theta/2 = 60^\circ$, откуда $\theta = 120^\circ$.

Угол $\alpha$, лежащий против данной стороны (вписанный угол), связан с центральным углом $\theta$ следующим образом:

1. Если вершина угла находится на большей дуге, то $\alpha = \frac{1}{2}\theta = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$. В этом случае центр окружности находится внутри треугольника, и угол $\alpha$ является острым.

2. Если вершина угла находится на меньшей дуге, то $\alpha = \frac{1}{2}(360^\circ - \theta) = \frac{1}{2}(360^\circ - 120^\circ) = \frac{1}{2} \times 240^\circ = 120^\circ$. В этом случае центр окружности находится вне треугольника, и угол $\alpha$ является тупым.

Оба варианта соответствуют условию задачи, так как не указан тип треугольника (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный).

Ответ: Угол, лежащий против этой стороны, равен $60^\circ$ или $120^\circ$.

б)

Дано:

Центр описанной около $\triangle ABC$ окружности лежит вне треугольника.

Угол $A$ – наибольший.

$AB = c = 3$ м

$AC = b = 4$ м

$S_{\triangle ABC} = 3$ м$^2$

Найти:

$\angle A$.

Решение:

Площадь треугольника $S$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}bc \sin A$.

Подставим известные значения в формулу:

$3 = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin A$

$3 = 6 \sin A$

Отсюда, $\sin A = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Существуют два значения угла $A$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, для которых $\sin A = \frac{1}{2}$:

$A_1 = 30^\circ$

$A_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Теперь используем дополнительные условия задачи:

1. "Центр описанной около $\triangle ABC$ окружности лежит вне треугольника." Это условие означает, что треугольник $ABC$ является тупоугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов больше $90^\circ$.

2. "его угол $A$ – наибольший." Это означает, что угол $A$ является самым большим углом в треугольнике.

Поскольку центр описанной окружности лежит вне треугольника, треугольник является тупоугольным. Наибольший угол в тупоугольном треугольнике должен быть тупым (более $90^\circ$).

Из двух возможных значений для угла $A$ ($30^\circ$ и $150^\circ$), только $150^\circ$ является тупым углом ($150^\circ > 90^\circ$).

Если $\angle A = 150^\circ$, то он является тупым, и, следовательно, наибольшим углом в треугольнике (так как сумма остальных двух углов будет $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$). Это согласуется с условиями задачи.

Таким образом, угол $A$ должен быть $150^\circ$.

Ответ: $\angle A = 150^\circ$.