Номер 275, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

275. Из точки B, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная BM ($M$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D ($C$ лежит между $B$ и $D$). Известно, что $BD = 12$ см, $BM = \frac{2}{3} \cdot CD$. Найдите длину отрезка BM.

Дано:

Из точки B, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная BM и секущая BD.

M – точка касания.

Секущая пересекает окружность в точках C и D.

C лежит между B и D.

$BD = 12 \text{ см}$

$BM = \frac{2}{3} \cdot CD$

Перевод в СИ:

$BD = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$BM$

Решение:

Согласно теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части. В нашем случае это выражается формулой: $BM^2 = BC \cdot BD$.

Так как точка C лежит между точками B и D, длина отрезка BD может быть представлена как сумма длин отрезков BC и CD: $BD = BC + CD$.

Отсюда выразим длину отрезка BC: $BC = BD - CD$.

Подставим это выражение для BC в основное соотношение: $BM^2 = (BD - CD) \cdot BD$.

Нам даны значения: $BD = 12 \text{ см}$ и $BM = \frac{2}{3} \cdot CD$.

Выразим $CD$ через $BM$ из второго равенства: $CD = \frac{3}{2} \cdot BM$.

Теперь подставим значение $BD$ и выражение для $CD$ в формулу для $BM^2$:

$BM^2 = (12 - \frac{3}{2} BM) \cdot 12$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$BM^2 = 12 \cdot 12 - 12 \cdot \frac{3}{2} BM$

$BM^2 = 144 - 18 BM$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$BM^2 + 18 BM - 144 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $BM$. Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $x = BM$, $a = 1$, $b = 18$, $c = -144$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144)$

$D = 324 + 576$

$D = 900$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдем два возможных значения для $BM$:

$BM_1 = \frac{-18 + 30}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$BM_2 = \frac{-18 - 30}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, принимаем положительное значение.

$BM = 6 \text{ см}$.

Проверим: Если $BM = 6 \text{ см}$, то $CD = \frac{3}{2} BM = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9 \text{ см}$.

Тогда $BC = BD - CD = 12 - 9 = 3 \text{ см}$.

И $BM^2 = 6^2 = 36$.

$BC \cdot BD = 3 \cdot 12 = 36$.

Равенство $36 = 36$ подтверждает правильность решения.

Ответ:

$6 \text{ см}$