Номер 269, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

269. Постройте $\triangle ABC$ по его данным: $AB = 4$ см, $\angle C = 40^\circ$, высота $CH = 5$ см.

Дано:

Длина стороны $AB = 4$ см

Величина угла $\angle C = 40^\circ$

Длина высоты $CH = 5$ см

Перевод в СИ:

$AB = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$CH = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$\angle C = 40^\circ$

Найти:

Построить треугольник $\triangle ABC$.

Решение:

Для определения возможности построения треугольника $ABC$ с заданными параметрами, необходимо проанализировать геометрические условия. Геометрическим местом точек $C$, из которых отрезок $AB$ виден под постоянным углом $\angle C$, является дуга окружности. В данном случае, поскольку $\angle C = 40^\circ < 90^\circ$, это будет большая дуга, и центр $O$ этой окружности будет находиться по противоположную сторону от отрезка $AB$ относительно дуги.

Вычислим радиус $R$ этой окружности, используя формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{AB}{2 \sin C}$ Подставим данные значения: $R = \frac{4 \text{ см}}{2 \sin 40^\circ}$ Используя значение $\sin 40^\circ \approx 0.6428$: $R \approx \frac{4}{2 \times 0.6428} = \frac{4}{1.2856} \approx 3.11 \text{ см}$.

Далее, найдем расстояние $OM$ от центра $O$ окружности до отрезка $AB$. Точка $M$ - это середина отрезка $AB$. В прямоугольном треугольнике, образованном центром $O$, серединой $M$ отрезка $AB$ и одной из вершин $A$ (или $B$), угол $\angle AOM = \angle C$. $OM = AM \cot C = \frac{AB}{2} \cot C$ Подставим значения: $OM = \frac{4 \text{ см}}{2} \cot 40^\circ = 2 \text{ см} \times \cot 40^\circ$ Используя значение $\cot 40^\circ \approx 1.1917$: $OM \approx 2 \times 1.1917 \approx 2.38 \text{ см}$.

Максимальная высота $CH_{max}$ для вершины $C$ над стороной $AB$ (т.е. расстояние от самой дальней точки дуги до прямой, содержащей $AB$) достигается, когда точка $C$ лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка $AB$. Поскольку центр $O$ и дуга $C$ находятся по разные стороны от $AB$ (для острого угла $C$), максимальная высота $CH_{max}$ определяется как разность радиуса $R$ и расстояния $OM$: $CH_{max} = R - OM$ Подставим вычисленные значения: $CH_{max} \approx 3.11 \text{ см} - 2.38 \text{ см} = 0.73 \text{ см}$.

По условию задачи, требуемая высота $CH = 5$ см. Сравним заданную высоту с максимально возможной: $CH = 5 \text{ см}$ $CH_{max} \approx 0.73 \text{ см}$ Так как $CH > CH_{max}$ ($5 \text{ см} > 0.73 \text{ см}$), это означает, что не существует точки $C$ на указанной дуге окружности, которая находилась бы на расстоянии $5$ см от прямой $AB$. Следовательно, треугольник с такими параметрами не может быть построен.

Ответ:
Построение треугольника $ABC$ с заданными параметрами невозможно, так как требуемая высота $CH = 5$ см превышает максимально возможную высоту ($CH_{max} \approx 0.73$ см) для данного отрезка $AB$ и угла $\angle C$.