Номер 265, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Углы, вписанные в окружность, и их свойства. III. Решение треугольников - номер 265, страница 118.

Условие.

265. Центральный угол $AOB$ на $42^\circ$ больше вписанного угла, опирающегося на дугу $AB$. Найдите каждый из этих углов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

центральный угол $\angle AOB$

вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на ту же дугу $AB$

$\angle AOB = \angle ACB + 42^\circ$

Найти:

$\angle AOB$ и $\angle ACB$

Решение:

Пусть вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, равен $\beta$. То есть, $\angle ACB = \beta$.

Пусть центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу $AB$, равен $\alpha$. То есть, $\angle AOB = \alpha$.

По условию задачи, центральный угол на $42^\circ$ больше вписанного угла:

$\alpha = \beta + 42^\circ$

Известно, что центральный угол, опирающийся на некоторую дугу, в два раза больше любого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, для дуги $AB$:

$\alpha = 2\beta$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \alpha = \beta + 42^\circ \\ \alpha = 2\beta \end{cases}$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$2\beta = \beta + 42^\circ$

Вычтем $\beta$ из обеих частей уравнения, чтобы найти значение $\beta$:

$2\beta - \beta = 42^\circ$

$\beta = 42^\circ$

Теперь, зная значение $\beta$, найдем значение центрального угла $\alpha$, используя соотношение $\alpha = 2\beta$:

$\alpha = 2 \cdot 42^\circ$

$\alpha = 84^\circ$

Таким образом, вписанный угол равен $42^\circ$, а центральный угол равен $84^\circ$. Проверим условие: $84^\circ - 42^\circ = 42^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ:

Вписанный угол равен $42^\circ$, центральный угол равен $84^\circ$.