Номер 260, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

260. Докажите, что градусные меры дуг окружности, которые заключены между двумя параллельными хордами, равны.

Дано:

Окружность с центром $O$.

Две параллельные хорды $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$).

Найти:

Доказать, что градусные меры дуг, заключенных между этими хордами, равны, то есть $m(\text{arc } AC) = m(\text{arc } BD)$.

Решение:

1. Рассмотрим окружность и две параллельные хорды $AB$ и $CD$.

2. Проведем хорду $AD$, соединяющую один конец первой хорды с одним концом второй хорды. Эта хорда $AD$ будет являться секущей для параллельных прямых, содержащих хорды $AB$ и $CD$.

3. Поскольку хорды $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то накрест лежащие углы, образованные секущей $AD$, равны. То есть $\angle BAD = \angle CDA$.

4. Угол $\angle BAD$ является вписанным углом в окружность. Он опирается на дугу $BD$. Согласно свойству вписанного угла, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $m(\angle BAD) = \frac{1}{2} m(\text{arc } BD)$.

5. Угол $\angle CDA$ также является вписанным углом в окружность. Он опирается на дугу $AC$. Согласно тому же свойству, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $m(\angle CDA) = \frac{1}{2} m(\text{arc } AC)$.

6. Поскольку мы установили, что $m(\angle BAD) = m(\angle CDA)$, то, подставляя выражения для этих углов через дуги, получаем: $\frac{1}{2} m(\text{arc } BD) = \frac{1}{2} m(\text{arc } AC)$.

7. Умножая обе части этого равенства на 2, получаем: $m(\text{arc } BD) = m(\text{arc } AC)$.

8. Таким образом, доказано, что градусные меры дуг окружности, заключенных между двумя параллельными хордами, равны.

Ответ: Доказано.